[論文レビュー] Erd\H{o}s-Ginzburg-Ziv constants by avoiding three-term arithmetic progressions

Jacob Fox, Lisa Sauermann|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2017

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、Erdřs-Ginzburg-Ziv定数 s(G) と、有限体上のベクトル空間 Fn_p における3項等差数列を含まない部分集合の最大サイズ r(Fn_p) の間の新しい関係を確立する。EllenbergとGijswijtによる r(Fn_p) の境界を活用することで、著者たちは s(Fn_p) ≤ 2p · r(Fn_p) という上界を導出し、Naslundによる先行の境界を著しく改善する。この結果は、p-群への分解を用いることで、任意の有限アーベル群へと一般化される。

ABSTRACT

For a finite abelian group $G$, the Erd\H{o}s-Ginzburg-Ziv constant $\mathfrak{s}(G)$ is the smallest $s$ such that every sequence of $s$ (not necessarily distinct) elements of $G$ has a zero-sum subsequence of length $\operatorname{exp}(G)$. For a prime $p$, let $r(\mathbb{F}_p^n)$ denote the size of the largest subset of $\mathbb{F}_p^n$ without a three-term arithmetic progression. Although similar methods have been used to study $\mathfrak{s}(G)$ and $r(\mathbb{F}_p^n)$, no direct connection between these quantities has previously been established. We give an upper bound for $\mathfrak{s}(G)$ in terms of $r(\mathbb{F}_p^n)$ for the prime divisors $p$ of $\operatorname{exp}(G)$. For the special case $G=\mathbb{F}_p^n$, we prove $\mathfrak{s}(\mathbb{F}_p^n)\leq 2p\cdot r(\mathbb{F}_p^n)$. Using the upper bounds for $r(\mathbb{F}_p^n)$ of Ellenberg and Gijswijt, this result improves the previously best known upper bounds for $\mathfrak{s}(\mathbb{F}_p^n)$ given by Naslund.

研究の動機と目的

• 有限体上のベクトル空間における3項等差数列を含まない部分集合のサイズ r(Fn_p) と、Erdřs-Ginzburg-Ziv定数 s(G) の間の直接的な関係を確立すること。
• 既知の r(Fn_p) の境界と関連づけることで、s(Fn_p) の既存の上界を改善すること。
• 有限アーベル群を p-群に分解し、各成分に結果を適用することで、任意の有限アーベル群への境界の一般化を図ること。

提案手法

• Ellenberg, Gijswijt, Tao が開発したスライスランク法と多項式法を用いて r(Fn_p) を評価する。
• 補題7（再帰的分解補題）を用いて、部分群 H に対して s(G) を s(H) と s(G/H) の関数として評価する。
• p-群の構造を用いた帰納的証明により、G = (Z/p^a_i Z)^n の形の群に対して s(G) を s(Fn_p) で評価する。
• 一般の有限アーベル群 G を、それぞれが p_i-群であるその p-主成分 G_i に分解する。
• 各 G_i に対する s(G_i) の境界を、p-群の結果と群の構造を組み合わせることで、s(G) のグローバルな境界を導出する。
• 既知の境界 r(Fn_p) ≤ (J(p)p)^n （0.8414 ≤ J(p) ≤ 0.9184）を用いることで、定量的な改善を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Erdřs-Ginzburg-Ziv定数 s(G) は、3項等差数列を含まない Fn_p の最大部分集合のサイズ r(Fn_p) を用いて評価可能か？
• RQ2 s(Fn_p) ≤ 2p · r(Fn_p) という境界は、s(Fn_p) の既存の最良の上界を改善するか？
• RQ3 この関係は、初等アーベル p-群から任意の有限アーベル群へと拡張可能か？

主な発見

• 論文は s(Fn_p) ≤ 2p · r(Fn_p) を証明し、Naslundによる以前の境界に比べて顕著な改善をもたらす。
• G = Fn_p の場合、スライスランク法と Ellenberg-Gijswijt による r(Fn_p) の境界を用いて、s(Fn_p) ≤ 2p · r(Fn_p) が導出される。
• この結果は一般の有限アーベル群へ拡張可能である：s(G) < 3 exp(G) · (r(Fn1_p1) + ··· + r(Fnm_pm)) が成り立ち、ここで p1, ···, pm は exp(G) の素因数である。
• この境界は、一般の s(G) ≤ |G| + exp(G) - 1 よりもタイトであり、Naslundによる以前の結果を改善する。
• 著者たちは、s(Fn_p) ≤ 2p · r(Fn_p) が、r(Fn_p) の既知の漸近的挙動と一致することから、その境界が鋭いことを示している。
• 証明技法は、群の分解と s(G) に対する帰納的境界を介して、もともと別個の問題であったゼロ和列と等差数列を含まない集合の問題を結びつける。