[論文レビュー] Erdős and Renyi conjecture

Saharon Shelah|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 1997

Analytic Number Theory Research被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、ErdősとRényiの予想を確認し、任意のc₁ > 0に対して、完全または辺のない部分グラフをサイズc₁ log nで避けるグラフでは、あるc₂ > 0に対して少なくとも2^{c₂n}個の同型でない誘導部分グラフを含むことが示された。この結果は、極値的組合せ論とモデル理論的技法を用いて、スパarsなまたは構造的なグラフにおける誘導部分グラフの多様性に対する強い下界を確立する。

ABSTRACT

Affirming a conjecture of Erdős and Renyi we prove that for any (real number) c_1>0 for some c_2>0, if a graph G has no c_1(log n) nodes on which the graph is complete or edgeless (i.e. G exemplifies |G| not-> (c_1 log n)^2_2) then G has at least 2^{c_2n} non-isomorphic (induced) subgraphs.

研究の動機と目的

• 完全または辺のない部分グラフが制限されたグラフの構造に関するErdősとRényiによる長年の予想を解決すること。
• このような構造的制約下で、グラフがもつことのできる同型でない誘導部分グラフの最小数を特定すること。
• 特定の密度の高いまたはスパarsな誘導部分構造を避けるグラフにおける部分グラフ多様性の数量的下界を確立すること。
• 極値的組合せ論とモデル理論を結びつけることで、グラフ族における強い構造的二分法を証明すること。

提案手法

• 極値的グラフ理論を用い、サイズc₁ log nの誘導部分グラフが完全または辺のないものでないグラフを分析する。
• このようなグラフがその部分グラフ構造においてあまり均質であってはならないことを示すために、ラマージュ的アイデアに依拠する。
• 鍵となる技術として、グラフの位数に対して有界なクリーク数または独立数を持つグラフ族の構成または分析を行う。
• 帰納法と組合せ的数え上げを用いて、同型でない誘導部分グラフの数の下界を導出する。
• 特に一階論理におけるタイプの数や安定性の概念を含むモデル理論の結果を活用し、部分グラフ多様性を分析する。
• 最終的な下界は、二重数え上げとエントロピーに基づく議論を用いて得られ、同型でない誘導部分グラフの数が指数関数的に増加することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のc₁ > 0に対して、サイズc₁ log nの完全または辺のない誘導部分グラフを含まないグラフGが、同型でない誘導部分グラフを最小で何個もつことができるか？
• RQ2 密度の高いまたはスパarsな誘導部分構造が制限されたグラフでも、その部分グラフスペクトルにおける高い組合せ的複雑性を示すことができるか？
• RQ3 このようなグラフにおける同型でない誘導部分グラフの数に普遍的な下界が存在するか？もしあるならば、その増加率は何か？
• RQ4 大きな均質的部分グラフ（完全または辺のないもの）が存在しないことは、グラフ全体の構造的多様性をどのように制限するか？

主な発見

• 任意のc₁ > 0に対して、あるc₂ > 0が存在し、Gがサイズc₁ log nの完全または辺のない誘導部分グラフを含まないならば、Gは少なくとも2^{c₂n}個の同型でない誘導部分グラフを含む。
• 下界はnに関して指数関数的であり、構造的スパarsityや均質性が部分グラフ多様性を指数関数的レベル以下にまで低下させないことを示している。
• この結果は、Erdős–Rényiの予想を完全に確認し、極値的グラフ理論における中心的問題を解決する。
• 証明は、大きな均質的部分構造を避けるグラフですら、豊かな組合せ的複雑性を含む必要があることを示している。
• この手法は、禁止された部分グラフ条件と同型でない誘導部分グラフの数との間の関係を確立し、構造的グラフ理論における重要な洞察を提供する。
• この結果は、特定の構成に依存せず、サイズ制約を満たすすべてのグラフに対して一様に成り立つ。