[論文レビュー] Erdős-Ko-Rado problems for permutation groups

Cai Heng Li, Shu Jiao Song+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2020

Finite Group Theory Research被引用数 8

ひとこと要約

本稿は置換群におけるErdős-Ko-Rado (EKR)性質を調査し、2重推移的群およびFrobenius群はEKR性質を満たす（最大交差集合のサイズが点安定化子のサイズで上限づけられる）が、一般の推移的群ではこの上限を任意に超える可能性があることを示している。主な貢献は、原始群に対しては最大交差集合のサイズと安定化子サイズの比を定数で抑えられるような絶対定数が存在しないことの証明であり、またすべての素数べき位数の置換群がEKR性質を満たすことを示している。

ABSTRACT

In this paper, we study intersecting sets in primitive and quasiprimitive permutation groups. Let $G \leqslant \mathrm{Sym}(Ω)$ be a transitive permutation group, and ${S}$ an intersecting set. Previous results show that if $G$ is either 2-transitive or a Frobenius group, then $|{S}|\leqslant|G_ω|$ (for some $ω\in Ω$). Furthermore, for some 2-transitive groups, $|{S}|=|G_ω|$ if and only if ${S}$ is a coset of a stabilizer. In this paper, we prove that these statements are far from the truth for general transitive groups. In particular, we show that in the case of primitive groups, there is even no absolute constant $c$ such that $|{S}|\leqslant c|G_ω|$. In the case $G$ is a primitive permutation group isomorphic to $\mathrm{PSL(2,p)}$, we characterize the subgroups of $G$ which are intersecting sets. We also show that if $G \leqslant \mathrm{Sym}(Ω)$ is a permutation group of prime power degree, then for any intersecting set $S$, we have $|S|\leq |G_ω|$ (for some $ω\in Ω$). This proves a part of a conjecture in \cite{MRS}.

研究の動機と目的

• 推移的置換群における最大交差集合のサイズが、2重推移的群やFrobenius群と同様に点安定化子のサイズによって上限づけられるかどうかを調査すること。
• 最大交差集合が常に点安定化子の陪集合であるかどうか、すなわち厳密EKR性質が成り立つかどうかを特定すること。
• PSL(2,p)に同型な原始群における交差集合の特徴付けを行い、準原始的および原始的群におけるEKR性質を調査すること。
• 素数べき位数の置換群がEKR性質を満たすことを証明し、[17]における予想を裏付けること。

提案手法

• 最大交差集合Sと点安定化子Gωに対して比ρ(G, Ω) = |S| / |Gω|を定義し、EKR性質からの逸脱を測る。
• ρ(G, Ω)が任意に大きくなるような無限族の推移的群を構成し、一般にはEKR性質が成立しないことを示す。
• p群における鋭く推移的集合の存在を用いて、推移的p群（したがって素数べき位数の群）がEKR性質を満たすことを証明する。
• Lemma 2.4（鋭く推移的集合の存在がEKR性質を導くこと）を適用し、このような集合が群におけるEKR性質を示唆することを示す。
• Frobenius群を分析し、|H| ≥ 3のとき、点安定化子の陪集合でない最大交差集合が存在することを示し、厳密EKR性質が破綻することを示す。
• 群作用理論、正規部分群、軌道構造（例：SL(2,3)におけるQ8の正則作用）を用いて、非Frobenius群における非陪集合の交差集合を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 推移的置換群において、ρ(G, Ω) = |S| / |Gω| は、Gが原始的であっても任意に大きくなるか？
• RQ2 すべての素数べき位数の置換群がEKR性質（|S| ≤ |Gω|）を満たすか？
• RQ3 PSL(2,p)に同型な原始群に対して、交差集合である部分群は何か？
• RQ4 最大交差集合が点安定化子の陪集合でない場合、その条件は何か、そして厳密EKR性質とはどのように関係するか？
• RQ5 p群に鋭く推移的集合が存在する場合、それが群におけるEKR性質を示唆するか？

主な発見

• 推移的置換群のうち、比ρ(G, Ω)が任意に大きくなるものが存在するため、すべての群に対して|S| ≤ c|Gω|を満たす絶対定数cは存在しない。
• PSL(2,p)に同型な原始群に対して、本稿は交差集合である部分群を構造的分類により特徴付けた。
• すべての素数べき位数の置換群がEKR性質を満たすことが、p群における鋭く推移的集合の存在を用いて証明された。
• すべての推移的p群がEKR性質を満たし、Sylow部分群の解析により、素数べき位数の任意の推移的群へと拡張できる。
• Frobenius群で|H| ≥ 3のとき、点安定化子の陪集合でない最大交差集合が存在するため、厳密EKR性質は成立しない。
• 例えばS = (H ackslash {h}) ∪ {ch}のような陪集合の和集合による交差集合の構成は、SL(2,3)のような非Frobenius群において非陪集合の最大交差集合を示している。