[論文レビュー] Erdelyi-Kober Fractional Integral Operators from a Statistical Perspective -II

A. M. Mathai, H. J. Haubold|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2013

Numerical methods in inverse problems参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、Erdélyi-Kober型の分数積分作用素の統計的解釈を、行列変数の場合に拡張し、独立な行列変数の積および比の確率密度関数を導出する。行列変数のKober作用素の第一および第二の種類を定義し、パスウェイモデルおよび行列変数の超幾何級数を用いて一般化し、Saigo作用素および多変量統計におけるベータ分布との関係を確立する。

ABSTRACT

In this article we examine the densities of a product and a ratio of two real positive definite matrix-variate random variables $X_1$ and $X_2$, which are statistically independently distributed, and we consider the density of the product $U_1=X_2^{1\over2}X_1X_2^{1\over2}$ as well as the density of the ratio $U_2=X_2^{1\over2}X_1^{-1}X_2^{1\over2}$. We define matrix-variate Kober fractional integral operators of the first and second kinds from a statistical perspective, making use of the derivation in the predecessor of this paper for the scalar variable case, by deriving the densities of products and ratios where one variable has a matrix-variate type-1 beta density and the other variable has an arbitrary density. Various types of generalizations are considered, by using pathway models, by appending matrix variate hypergeometric series etc. During this process matrix-variate Saigo operator and other operators are also defined and properties studied.

研究の動機と目的

• 独立したランダム行列の行列変数の積および比の確率密度関数を導出すること。
• 統計的視点から、行列変数のKober作用素の第一および第二の種類を定義し、それらを研究すること。
• パスウェイモデルおよび行列変数の超幾何級数を用いて、これらの作用素を一般化すること。
• 導出された作用素と、タイプ1ベータ分布およびガンマ分布などの既知の多変量分布との関係を確立すること。
• 極限形および行列パrameter化（例：パrameter $ q \to 1_{-} $ のパスウェイモデルを含む）を含めるために、フレームワークを拡張すること。

提案手法

• 行列変数タイプ1ベータ分布に従う $ X_1 $ と任意の密度関数を持つ $ X_2 $ を用い、$ (X_1, X_2) $ から $ (U_1, X_2) $ へのヤコビアン変換を用いて $ U_1 = X_2^{1/2} X_1 X_2^{1/2} $ の密度を導出する。
• 同じ変換を用いて $ U_2 = X_2^{1/2} X_1^{-1} X_2^{1/2} $ の密度を導出し、第一種Kober作用素に到達する。
• 第二種Kober作用素を $ K_X^{\zeta,\alpha}f(X) = \frac{|X|^\zeta}{\Gamma_p(\alpha)} \int_{T>X} |T-X|^{\alpha - \frac{p+1}{2}} |T|^{-\zeta - \alpha} f(T) dT $ と定義する。ただし $ \Re(\alpha) > \frac{p-1}{2} $ とする。
• 密度関数 $ X_1 $ のためのパスウェイモデルを導入し、タイプ1ベータ分布を $ f_1(X_1) \propto |X_1|^{\gamma - \frac{p+1}{2}} |I - a(1-q)X_1|^{\frac{\eta}{1-q}} $ に置き換えることで、$ q \to 1_{-} $ のとき指数型密度関数への連続的移行を可能にする。
• パスウェイモデル下での $ U $ の周辺密度が、$ |U|^{-\gamma - (\frac{\eta}{1-q} + \frac{p+1}{2})} \int_{U > a(1-q)V} |U - a(1-q)V|^{\frac{\eta}{1-q}} |V|^\gamma f(V) dV $ を含む一般化された第一種Kober作用素に帰着することを確立する。
• 極限形 $ q \to 1_{-} $ を導出し、$ \exp(-a\eta \cdot \mathrm{tr}(V^{1/2} U^{-1} V^{1/2})) $ を含む密度への収束を示し、ガンマ分布および一般化ガンマ分布へと関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kober分数積分作用素は、スカラーから行列変数の場合に統計的に意味のある方法でどのように一般化できるか？
• RQ2 行列変数の第一種Kober作用素の統計的解釈は、独立したランダム行列の比の分布に関してどのように解釈できるか？
• RQ3 パスウェイモデルは行列変数のKober作用素をどのように拡張するのか？また、パスウェイパrameter $ q \to 1_{-} $ のときの極限挙動は何か？
• RQ4 行列変数の超幾何級数およびSaigo作用素は、この一般化されたフレームワークにおいて果たす役割は何か？
• RQ5 導出された作用素は、タイプ1ベータ分布および行列変数ガンマ分布などの既知の多変量分布とどのように関係しているか？

主な発見

• 行列変数タイプ1ベータ分布に従う $ X_1 \sim \text{Beta}_p(\zeta + \frac{p+1}{2}, \alpha) $ および任意の密度関数を持つ $ X_2 $ を用いた $ U_1 = X_2^{1/2} X_1 X_2^{1/2} $ の密度は、第二種Kober作用素に帰着する。
• $ U_2 = X_2^{1/2} X_1^{-1} X_2^{1/2} $ の周辺密度が、第一種Kober作用素 $ I_X^{\zeta,\alpha}f(X) $ に比例することが示され、$ \Gamma_p(\zeta)/\Gamma_p(\zeta + \alpha) \cdot g_r(U) = I_X^{\zeta,\alpha}f(X) $ となる。
• タイプ1ベータ密度を $ |I - a(1-q)X_1|^{\frac{\eta}{1-q}} $ を含む一般化形に置き換えることで、パスウェイ拡張の第一種Kober作用素が導出され、より広い作用素のクラスが得られる。
• $ q \to 1_{-} $ のとき、パスウェイモデルは $ \exp(-a\eta \cdot \mathrm{tr}(V^{1/2} U^{-1} V^{1/2})) $ を含む密度に収束し、一般化ガンマ分布へと関連付ける。
• パスウェイモデルの極限形は $ \lim_{q \to 1_{-}} g_p(U) = \frac{(a\eta)^{p\gamma}}{\Gamma_p(\gamma)} |U|^{-\gamma - \frac{p+1}{2}} \int_{V>O} |V|^\gamma \exp(-a\eta \cdot \mathrm{tr}(V^{1/2} U^{-1} V^{1/2})) f(V) dV $ を与え、ガンマ分布および逆ガンマ分布への関連を確認する。
• フレームワークは、正定値行列 $ A $ をパスウェイモデルに組み込むことを可能とし、スカラーパrameter $ a $ を $ A > O $ に一般化する。その結果得られる密度は $ g_A(U) \propto |U|^{-\gamma - (\frac{\eta}{1-q} + \frac{p+1}{2})} \int_{U > (1-q)V^{1/2} A V^{1/2}} |U - (1-q)V^{1/2} A V^{1/2}|^{\frac{\eta}{1-q}} |V|^\gamma f(V) dV $ と表現される。