[論文レビュー] Ergodic components and topological entropy in geodesic flows of surfaces

Jan Philipp Schröder|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2014

Advanced Differential Geometry Research参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、上部トポロジカルエントロピーがゼロである可逆Finsler計量の下で、2次元球面および2次元トーラス上の測地線流の研究を行う。Katokの構成とFranks・HandelによるBirkhoffアニュラスに関する結果を用いて、少なくとも2本の閉測地線が存在し、すべての測地線が共役点を持つ場合、2次元球面上の測地線流が全単位接束でエルゴディックであることは不可能であることを証明する。これは双曲的性と正のエントロピーを示唆する。2次元トーラス上では、エルゴディック性は流れに沿ったチューブの真の部分集合に限局する。

ABSTRACT

We consider the geodesic flow of reversible Finsler metrics on the 2-sphere and the 2-torus, whose geodesic flow has vanishing topological entropy. Following a construction of A. Katok, we discuss examples of Finsler metrics on both surfaces, which have large ergodic components for the geodesic flow in the unit tangent bundle. On the other hand, using results of J. Franks and M. Handel, we prove that ergodicity and dense orbits cannot occur in the full unit tangent bundle of the 2-sphere, if the Finsler metric has positive flag curvatures and at least two closed geodesics. In the case of the 2-torus, we show that ergodicity is restricted to strict subsets of tubes between flow-invariant tori in the unit tangent bundle of the 2-torus.

研究の動機と目的

• 上部トポロジカルエントロピーがゼロである可逆Finsler計量の下で、2次元球面および2次元トーラス上の測地線流のエルゴディック成分の構造を理解すること。
• 流れのトポロジカルエントロピーがゼロである場合に、全単位接束内で稠密な軌道または完全なエルゴディック性が生じ得るかどうかを特定すること。
• 2次元球面上で共役点と複数の閉測地線が存在する場合の、測地線流の力学的影響を調査すること。
• 特に単位接束内の不変チューブ内での制限を含め、2次元トーラス上でのエルゴディック性の制約を分析すること。
• 曲面力学および単調なねじり写像の道具を用いて、鋭い力学的制限を確立すること。

提案手法

• 2次元球面上に2本の閉測地線とゼロのトポロジカルエントロピーを有するFinsler計量をKatokの構成により適用する。
• 少なくとも2本の閉測地線が存在する2次元球面上の測地線流の力学を解析するために、Birkhoffアニュラス写像を用いる。
• 単調なねじり写像における周期点および不変集合に関するFranks・Handelの結果を用いて、流れの構造を制約する。
• Poincaré断面法と初戻り写像を用いて、流れのトポロジカルエントロピーと戻り写像のエントロピーとの関係を関係づける。
• 2次元トーラスの単位接束を不変トーラスの和集合とみなして、それらの間のチューブ内でのエルゴディック成分を研究する。
• 流れにおけるゼロエントロピーが戻り写像におけるゼロエントロピーを意味することを用い、戻り時間の一様有界性を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可逆Finsler計量で上部トポロジカルエントロピーがゼロであり、少なくとも2本の閉測地線が存在し、すべての測地線が共役点を持つ2次元球面上の測地線流が、全単位接束でエルゴディックである可能性はあるか？
• RQ2 正のフラッグ曲率の下で、上部トポロジカルエントロピーがゼロである2次元球面上の測地線流が稠密な軌道を持つ場合、どのような力学的結果が生じるか？
• RQ3 可逆Finsler計量でゼロエントロピーを有する2次元球面の単位接束において、エルゴディック成分がどれほど全空間を埋め尽くすことができるか？
• RQ4 2次元トーラスの単位接束において、ゼロエントロピーFinsler計量の下でエルゴディック性はどのように制限されるか？
• RQ5 2次元トーラスの単位接束内での流れに沿ったトーラスおよびチューブは、エルゴディック成分の大きさを制限するために果たす役割は何か？

主な発見

• 2次元球面上では、可逆Finsler計量が少なくとも2本の閉測地線を持ち、すべての測地線が共役点を持つ場合、上部トポロジカルエントロピーがゼロであれば、測地線流は全単位接束でエルゴディックにはなり得ない。
• 同じ条件下で、2次元球面の単位接束内に稠密な軌道が存在するならば、正のトポロジカルエントロピーが生じることになり、ゼロエントロピーの仮定と矛盾する。
• 正のフラッグ曲率を有する計量で少なくとも2本の閉測地線を持つ2次元球面上の測地線流は、全単位接束内で稠密な軌道を有し得ない。
• 2次元トーラス上では、上部トポロジカルエントロピーがゼロである測地線流のエルゴディック性は、単位接束内での流れに沿った不変トーラス間のチューブの真の部分集合に限局する。
• Katokの構成により、ゼロエントロピーと2つのエルゴディック成分を有する可逆Finsler計量の例が得られ、それらは反対称写像に関して対称であり、測度的に任意に大きくできる。
• これらの結果は、共役点と複数の閉測地線が存在する2次元球面上でエルゴディック性または稠密な軌道が生じる場合、双曲的性（正のトポロジカルエントロピーを伴う）が必然的に生じることを示唆する。