[論文レビュー] Ergodic Decomposition for Measures Quasi-Invariant Under Borel Actions of Inductively Compact Groups

Alexander I. Bufetov|arXiv (Cornell University)|May 3, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 3被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、帰納的にコンパクトな群のボレル作用に関して擬不変である確率測度のエルゴディック分解定理を確立し、Radon-Nikodymコサイクルの繊維連続性条件の下で存在と一意性を証明する。σ-有限不変測度については、エルゴディック分解が一意でないが、分解測度の測度類は初期測度によって一意に定まることが示され、ロフリンの方法がコンパクトまたは局所コンパクトな設定を超えて拡張される。

ABSTRACT

The aim of this paper is to prove ergodic decomposition theorems for probability measures quasi-invariant under Borel actions of inductively compact groups (Theorem 1) as well as for sigma-finite invariant measures (Corollary 1). For infinite measures the ergodic decomposition is not unique, but the measure class of the decomposing measure on the space of projective measures is uniquely defined by the initial invariant measure (Theorem 2).

研究の動機と目的

• 帰納的にコンパクトな群のボレル作用に関して擬不変である確率測度のエルゴディック分解の存在と一意性を確立すること。
• 一意性が成り立たないが、分解の測度類が初期測度によって一意に定まるという事実を踏まえ、エルゴディック分解の結果をσ-有限不変測度に拡張すること。
• ロフリンのエルゴディック分解の方法を、コンパクト性や連続性の仮定を除き、Radon-Nikodymコサイクルの繊維連続性条件に依存する形で帰納的にコンパクトな群に一般化すること。
• 無限次元のヒルベルト空間における無限大のHua-Pickrell測度のエルゴディック分解に適用可能な枠組みを提供すること、後続の研究でその有効性が示されている。

提案手法

• ロフリンのエルゴディック分解の方法を用い、一般の群に対してはエルゴディック定理を用いるが、帰納的にコンパクトな群に対しては、マルティングール収束定理に置き換える。
• Radon-Nikodymコサイクルに繊維連続性条件を課し、分解を構成するための必要な正則性を保証する。
• 帰納的にコンパクトな群Gのコンパクト部分群K(n)を用いて定義される軌道測度ηⁿₓの列にマルティングール収束定理を適用する。
• 擬不変測度のエルゴディック性と分解不能性の同値性を、帰納的にコンパクトな群の作用に関して示し、一般の群に対しては成り立たない（コルモゴロフの反例により示される）ことを一般化する。
• 必要に応じてチョケットの定理を間接的に用い、適切な凸コンパクト集合を構成するが、主な手法ではコンパクト性の仮定を避ける。
• すべての構成の可測性を保証するため、標準ボレル空間のボレル構造と測度空間への誘導されたボレル構造に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 帰納的にコンパクトな群のボレル作用に関して擬不変である確率測度が、どのような条件下で一意なエルゴディック分解をもつのか。
• RQ2 群の作用のコンパクト性や連続性を仮定せず、Radon-Nikodymコサイクルの繊維連続性に依存することで、エルゴディック分解を構成できるか。
• RQ3 σ-有限不変測度に対しては、分解自体が一意でないが、分解測度の測度類が初期測度によって一意に定まるか。
• RQ4 擬不変測度の下で、帰納的にコンパクトな群の作用に関して、エルゴディック性と分解不能性の同値性が成り立つか（測度を保存する作用の場合と同様に）。
• RQ5 この枠組みは、無限次元系、例えば無限大のヘルミート行列空間上のHua-Pickrell測度に適用可能か。

主な発見

• 定理1は、Radon-Nikodymコサイクルが各軌道上で連続である限り、帰納的にコンパクトな群のボレル作用に関して擬不変である確率測度のエルゴディック分解の存在と一意性を確立する。
• 命題2は、帰納的にコンパクトな群に対して、擬不変測度のエルゴディック性がその分解不能性と同値であることを証明する。一般の群に対しては成り立たない（コルモゴロフの反例により示される）。
• 系1は、エルゴディック分解をσ-有限不変測度に拡張する。分解自体は一意ではないが、射影測度空間上の分解測度の測度類は初期測度によって一意に定まる。
• 定理2は、σ-有限不変測度に対して、分解の測度類が初期測度の不変量であることを示し、分解自体が一意でないにもかかわらず成立する。
• 本稿は、マルティングール収束定理がロフリンの方法におけるエルゴディック定理に置き換え可能であることを示し、帰納的にコンパクトな群へのエルゴディック分解の拡張を可能にする。
• 結果は、後続の研究で無限大のヘルミート行列空間上の無限大Hua-Pickrell測度のエルゴディック分解に応用され、この枠組みの無限次元設定への有用性が裏付けられている。