[論文レビュー] Ergodic decompositions of stationary max-stable processes in terms of their spectral functions

Clément Dombry, Zakhar Kabluchko|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 27被引用数 27

ひとこと要約

本稿は、de Haan表現におけるスペクトル関数を用いて、定常なmax-stable過程の保守的／散逸的および正の／零成分への分解を明示的・経路に依存する基準で与える。スペクトル関数が散逸的であることは、それがほとんど everywhere でゼロに収束することと同値であり、零再帰的であることは、Cesàro平均でゼロに収束することと同値であることを示し、また、ほとんど確実なゼロ収束とは同値でない新しい混合性の特徴づけを導入する。

ABSTRACT

We revisit conservative/dissipative and positive/null decompositions of stationary max-stable processes. Originally, both decompositions were defined in an abstract way based on the underlying non-singular flow representation. We provide simple criteria which allow to tell whether a given spectral function belongs to the conservative/dissipative or positive/null part of the de Haan spectral representation. Specifically, we prove that a spectral function is null-recurrent iff it converges to $0$ in the Ces\\`{a}ro sense. For processes with locally bounded sample paths we show that a spectral function is dissipative iff it converges to $0$. Surprisingly, for such processes a spectral function is integrable a.s. iff it converges to $0$ a.s. Based on these results, we provide new criteria for ergodicity, mixing, and existence of a mixed moving maximum representation of a stationary max-stable process in terms of its spectral functions. In particular, we study a decomposition of max-stable processes which characterizes the mixing property.

研究の動機と目的

• 非可逆な流れを用いた抽象的な定義に代えて、定常max-stable過程の保守的／散逸的および正の／零分解を構成的かつ経路に依存する基準で与えること。
• 過程がエルゴディックである、混合的である、あるいは混合移動最大表現をもつことを決定するための、スペクトル関数に基づく明示的条件の欠如を解消すること。
• max-stable過程における混合性を特徴づける新しい分解を確立し、これはほとんど確実なゼロへの収束とは同値でないことを示すこと。
• スペクトル関数の標本パスの振る舞いと、それらの背後にある過程のエルゴディック理論的性質との関係を明確にすること。
• 混合性が経路的ゼロ収束によって特徴づけられるかどうかという未解決の問題を解消し、それが十分条件でないことを示すこと。

提案手法

• 非可逆な流れのエルゴディック理論的概念——特に保守的／散逸的および正の／零分解——を、スペクトル関数に適用する。
• de Haan表現を用いて、定常max-stable過程を、ポアソン過程によってスケーリングされたi.i.d.スペクトル関数の点ごとの最大値として表現する。
• 局所的に有界な標本パスをもつ場合、スペクトル関数が散逸的であることと、それがほとんど確実にゼロに収束することは同値であることを証明する。
• スペクトル関数が零再帰的であることと、それがCesàro平均でゼロに収束することは同値であることを確立する。
• 流れ表現を用いて、混合成分と非混合成分への新しい分解を導入し、混合であることと、流れの正の部分が測度ゼロであることは同値であることを示す。
• 反例の収束性を検証するために、Borel–Cantelli補題と尾確率推定を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定常max-stable過程の保守的／散逸的および正の／零分解は、そのスペクトル関数から直接特徴づけられるか？
• RQ2 スペクトル関数に作用する経路的条件が、過程がエルゴディックまたは混合的であるかどうかを決定づけるか？
• RQ3 スペクトル関数がほとんど確実にゼロに収束することは、max-stable過程において混合性を意味するか？
• RQ4 混合性は、背後にある流れの分解を用いて特徴づけられるか？また、零再帰性とはどのように異なるか？
• RQ5 スペクトル関数のCesàro収束と零再帰的成分との関係は何か？

主な発見

• 局所的に有界な標本パスをもつ過程において、スペクトル関数が散逸的成分に属するのは、それがほとんど確実にゼロに収束するときかつそのときに限る。
• 局所的に有界な過程において、スペクトル関数が零再帰的成分に属するのは、それがCesàroの意味でゼロに収束するときかつそのときに限る。
• 局所的に有界な過程において、スペクトル関数がほとんど確実に可積分であるのは、それがほとんど確実にゼロに収束するときかつそのときに限る。
• 定常max-stable過程の混合性は、流れ表現における正の部分が測度ゼロであるという条件によって特徴づけられる。
• 混合性は、スペクトル関数がほとんど確実にゼロに収束することを意味せず、逆に、ほとんど確実なゼロ収束も混合性を意味しない。これは、Brown–Resnick過程に基づく反例によって示された。
• 混合成分と非混合成分への新しい分解は、流れ表現の選択に依存せず、したがってその分布が一意に定義される。