[論文レビュー] Ergodic Kneser-type Theorems for amenable groups

Michael Björklund, Alexander Fish|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2016

Advanced Topology and Set Theory被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、可算なアーメン群 $G$ における測度保存的作用がエルゴディックである場合、作用集合 $AB$ の測度が $u(AB) \geq \min(1, d^*(A) + u(B))$ を満たすことを証明することで、可算なアーメン群に対するKneser型のエルゴディック定理を確立する。ここで $d^*(A)$ は $A$ の上側バナッハ密度を表す。これはKneserの古典的密度定理をアーメン群へ一般化し、等号が成立する極値の場合をステューマン集合を用いて特徴付ける。

ABSTRACT

We study in this paper expander sets for ergodic probability measure-preserving actions of countable amenable groups. Among other things, we show that if $G$ is a countable amenable group, $(Y, u)$ is an ergodic probability-measure preserving of $G$ and $A \subset G$ is a sufficiently aperiodic set, then, for every Borel $B \subset Y$ with positive $ u$-measure, we have \[ u(AB) \geq \min(1,d^*(A) + u(B) \big), \] where $AB$ denotes the action set $\cup_{a \in A} aB \subset Y$ and $d^*(A)$ the (left) upper Banach density of $A$. Furthermore, if every finite-index subgroup of $G$ acts ergodically on $(Y, u)$, and if the lower bound above is attained for some Borel $B$, then $A$ must be contained in a Sturmian set (a very well-structured Bohr set) with the same upper Banach density as $A$. We apply these results to problems in additive combinatorics concerning asymptotic densities of product sets in $G$. More specifically, we show that if $A \subset G$ is a sufficiently aperiodic large set, then for \emph{any} (left) F{\o}lner sequence $(F_n)$ in $G$ and for every syndetic $B \subset G$, we have \[ \underline{d}_{(F_n)}(AB) \geq \min(1,d^*(A) + \underline{d}_{(F_n)}(B) \big), \] where $\underline{d}_{(F_n)}(A)$ denotes the lower asymptotic density of $A$ along $(F_n)$. This may be viewed as a generalization of the Kneser's celebrated density theorem on sets of small doubling in $(Z,+)$ to arbitrary countable amenable groups. [For a longer abstract, see the article].

研究の動機と目的

• 可算なアーメン群へのKneserの古典的密度定理（$\mathbb{Z}$ における小二重集合の密度に関するもの）を任意の可算なアーメン群へ拡張すること。
• エルゴディック $G$-作用における作用集合 $AB$ の測度について、$A$ の上側バナッハ密度と $B$ の測度を用いた下界を確立すること。
• 不等式における等号が成立する場合を特徴付けること。その際、$A$ は同じ上側バナッハ密度を持つステューマン集合に含まれることを示すこと。
• 結果をF{\

提案手法

• 可算なアーメン群の測度保存的作用を確率空間上で解析するためにエルゴディック理論を用いる。
• 部分集合 $A \subset G$ に対して上側バナッハ密度 $d^*(A)$ を定義し、その大きさを定量化する。
• 正の測度を持つボレル集合 $B \subset Y$ に対して不等式 $u(AB) \geq \min(1, d^*(A) + u(B))$ を確立する。
• 等号が成立する際の極値的構成として、よく整ったボーハー集合であるステューマン集合の概念を導入する。
• 結果をF{\

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた $A \subset G$ および $u(B) > 0$ を満たすボレル集合 $B \subset Y$ に対して、作用集合 $AB$ の最小測度は何か？
• RQ2 不等式 $u(AB) \geq \min(1, d^*(A) + u(B))$ が等号に達するのはどのような条件下か？
• RQ3 群 $G$ が $(Y, u)$ 上でエルゴディックに作用するとき、等号が成立するためには $A \subset G$ がどのような構造的性質を満たす必要があるか？
• RQ4 F{\

主な発見

• 任意の可算なアーメン群 $G$ のエルゴディック確率測度保存作用と、$u(B) > 0$ を満たす任意のボレル集合 $B \subset Y$ に対して、作用集合の測度は $u(AB) \geq \min(1, d^*(A) + u(B))$ を満たす。ここで $AB = \bigcup_{a \in A} aB$ である。
• 群 $G$ のすべての有限指数部分群が $(Y, u)$ 上でエルゴディックに作用し、ある $B$ に対して不等式の等号が成立するならば、$A$ は $A$ の上側バナッハ密度と等しい上側バナッハ密度を持つステューマン集合に含まれる。
• 不等式 $u(AB) \geq \min(1, d^*(A) + u(B))$ は、群 $G$ のすべてのエルゴディック作用に一様に成り立つ。これはKneserの定理をアーメン群へ一般化するものである。
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