[論文レビュー] Ergodic optimization theory for a class of typical maps

Wen Huang, Zeng Lian+3 more|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 17被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、Axiom A吸引子、Anosov微分同相、一様に拡張する写像を含む広範な力学系のクラスに対して、系がAnosovシャロウイング性質（ASP）およびMañé-Conze-Guivarc’h-Bousch性質（MCGBP）の両方を満たす限り、一般の Hölder 継続的観測関数は、周期軌道に一意に支持される最小化測度を持つことが確立されている。この結果は、力学系のエルゴディック最適化における長年の未解決問題であるYuanとHuntが提起した $ C^1 $-観測関数に関する問題を解決する。

ABSTRACT

In this article, we consider the weighted ergodic optimization problem of a class of dynamical systems $T:X o X$ where $X$ is a compact metric space and $T$ is Lipschitz continuous. We show that once $T:X o X$ satisfies both the {\em Anosov shadowing property }({\bf ASP}) and the {\em Mañé-Conze-Guivarc'h-Bousch property }({\bf MCGBP}), the minimizing measures of generic Hölder observables are unique and supported on a periodic orbit. Moreover, if $T:X o X$ is a subsystem of a dynamical system $f:M o M$ (i.e. $X\subset M$ and $f|_X=T$) where $M$ is a compact smooth manifold, the above conclusion holds for $C^1$ observables. Note that a broad class of classical dynamical systems satisfies both ASP and MCGBP, which includes {\em Axiom A attractors, Anosov diffeomorphisms }and {\em uniformly expanding maps}. Therefore, the open problem proposed by Yuan and Hunt in \cite{YH} for $C^1$-observables is solved consequentially.

研究の動機と目的

• エルゴディック最適化理論における $ C^1 $-観測関数に対する『典型的周期最適化（TPO）予想』を解決すること。
• 一般の観測関数の最小化測度が周期軌道に一意に支持される条件を確立すること。
• 系がASPおよびMCGBPの両方を満たす場合、一般の Hölder 及び $ C^1 $-観測関数に対して最小化測度が周期的かつ一意に支持されることを証明すること。
• 一様に拡張する写像や有限型符号的系の既存の結果を、より広範な双曲的系のクラスへと拡張すること。
• 強い双曲性および正則性を有する系におけるエルゴディック最適化の一般的な枠組みを提供すること。

提案手法

• 著者らは、コンパクトな距離空間 $ X $ 上のリプシッツ連続写像 $ T: X \to X $ に対する重み付きエルゴディック最適化問題を分析する。
• 軌道を周期軌道で近似する制御のために、Anosovシャロウイング性質（ASP）を導入し、適用する。
• 観測関数の摂動を可能にするコバウンダリーの存在を保証するために、Mañé-Conze-Guivarc’h-Bousch性質（MCGBP）を用いる。
• 証明は、任意のエルゴディック測度に対してそのBirkhoff平均が非負となる関数 $ G $ の構成に依存し、軌道和の推定とHölderノルムの評価を用いる。
• 重要な推定では、リプシッツ定数および双曲性定数を用いて、近接する点の軌道和の差を評価する。
• 証明は背理法に基づく：非周期的最小化測度の仮定から、$ G $ の平均が正であることが導かれ、最小性に矛盾する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 力学系がどのような条件下にあっても、一般の Hölder 観測関数の最小化測度が周期軌道に一意に支持されるか？
• RQ2 双曲的系における $ C^1 $-滑らか観測関数に対して、TPO予想は成り立つか？
• RQ3 MCGBPおよびASPの性質を用いて、最小化測度の周期性と一意性を保証できるか？
• RQ4 Axiom A吸引子やAnosov微分同相などの古典的双曲的系は、周期的最小化測度を有する条件をどの程度満たすか？
• RQ5 観測関数の摂動は、エルゴディック最適化における最小化測度の構造にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 任意の系 $ T: X \to X $ がASPおよびMCGBPの両方を満たす場合、一般の $ \alpha $-Hölder 観測関数の最小化測度は、周期軌道に一意に支持される。
• 系 $ T $ がコンパクトな滑らかな多様体 $ M $ 上の $ C^1 $-微分同相 $ f: M \to M $ の部分系である場合、$ C^1 $-観測関数に対しても同様の結果が成り立つ。
• この結果は、YuanとHunt（2000年）が提起したエルゴディック最適化における $ C^1 $-観測関数に関する未解決問題を解決する。
• ASPおよびMCGBPの両方を満たす系のクラスには、Axiom A吸引子、Anosov微分同相、一様に拡張する写像が含まれる。
• 証明は、周期的でない任意のエルゴディック測度が、注意深く構成された関数 $ G $ のBirkhoff平均を正に持つことを示し、最小性に矛盾する。
• 主な技術的ステップは、非周期的軌道に沿った $ G $ の和を有限時間区間で厳密に正にできるようにすることであり、これにより最小化性が破れる。