[論文レビュー] Ergodic properties of a class of non-Markovian processes

Martin Hairer|ArXiv.org|Aug 24, 2007

Stochastic processes and financial applications参考文献 20被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、非白色ノイズによって駆動される非マルコフ過程の広いクラスにおいて、定常分布の一意性を示す構成的基準を確立する。強フリーディングおよびトポロジカル非可約性といったマルコフ過程理論の技法を応用することで、ノイズにややきついスペクトル的仮定を課した場合、i.i.d. ガウスノイズの場合と同様の検証手法が有効であることが示され、非マルコフ的設定、特に定常ガウスノイズを伴う離散時間過程への遍歴性の結果が拡張される。

ABSTRACT

We study a fairly general class of time-homogeneous stochastic evolutions driven by noises that are not white in time. As a consequence, the resulting processes do not have the Markov property. In this setting, we obtain constructive criteria for the uniqueness of stationary solutions that are very close in spirit to the existing criteria for Markov processes. In the case of discrete time, where the driving noise consists of a stationary sequence of Gaussian random variables, we give optimal conditions on the spectral measure for our criteria to be applicable. In particular, we show that under a certain assumption on the spectral density, our assumptions can be checked in virtually the same way as one would check that the Markov process obtained by replacing the driving sequence by a sequence of independent identically distributed Gaussian random variables is strong Feller and topologically irreducible. The results of the present article are based on those obtained previously in the continuous time context of diffusions driven by fractional Brownian motion.

研究の動機と目的

• 非マルコフ確率過程における定常分布の一意性を示す構成的基準を開発すること。
• 相関のある（非白色の）ノイズによって駆動される系にまで、遍歴性理論をマルコフ過程を超えて拡張すること。
• 強フリーディングおよびトポロジカル非可約性といった標準的なマルコフ的遍歴性検証手法が、非マルコフ的設定にどの程度適応可能かを特定すること。
• 定常ガウス系列によって駆動される離散時間過程を分析し、遍歴性に最適なスペクトル的条件を同定すること。

提案手法

• 本稿は、マルコフ性を欠く非白色ノイズによって駆動される時刻均質な確率的発展を研究する。
• マルコフ過程に用いられる古典的基準に類似した、定常解の一意性に関する基準を定式化する。
• 定常ガウスノイズを伴う離散時間過程に対しては、遍歴性基準の適用を保証するスペクトル測度に関する条件を導出する。
• 特定のスペクトル密度に関する仮定のもとで、遍歴性条件の検証が、i.i.d. ガウスノイズの場合と類似した性質の確認に帰着することを示す。
• この手法は、ノイズのスペクトル解析およびマルコフ過程理論からのカップリング技法の適応に依存する。
• 分数ブラウン運動によって駆動される拡散過程に関する先行結果を、より広範な非マルコフ過程のクラスへ一般化する枠組みを提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相関のあるノイズによって駆動される非マルコフ過程に対して、定常分布の一意性を示す構成的基準を開発可能か？
• RQ2 非マルコフ過程の遍歴性が保証されるノイズのスペクトル的条件下ではどのような条件が必要か？
• RQ3 強フリーディングおよびトポロジカル非可約性といった標準的なマルコフ的遍歴性検証手法が、非マルコフ的設定にどの程度適応可能か？
• RQ4 駆動ノイズのスペクトル密度が、離散時間非マルコフ過程における遍歴性基準の適用性にどのように影響するか？
• RQ5 記憶を持つ定常ガウス系列によって駆動される過程に理論を拡張可能か？

主な発見

• 本稿は、スペクトル密度にややきつい仮定を課した場合、非マルコフ過程の遍歴性基準が、i.i.d. ガウスノイズを伴うマルコフ過程の場合と同様の方法で検証可能であることを示している。
• 定常ガウス系列によって駆動される離散時間過程に対しては、定常分布の一意性が保証される最適なスペクトル的条件が導出された。
• 分数ブラウン運動によって駆動される拡散過程の遍歴性に関する先行結果が、より広い非マルコフ過程のクラスへ一般化された。
• マルコフ性が成立しない状況においても、強フリーディングおよびトポロジカル非可約性の議論を適用可能にする枠組みが提供された。
• スペクトル測度の条件により、ノイズの相関構造が一意不変測度の存在を妨げないことが保証された。
• マルコフ性を仮定せずとも、非マルコフ系における遍歴性の検証を体系的に行う手法が得られた。