[論文レビュー] Ergodic properties of Erdös measure, the entropy of the goldenshift, and related problems

Nikita Sidorov, A. M. Vershik|ArXiv.org|Dec 15, 1996

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 11被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、黄金比を用いて2次トーラス上に二面的Erdös測度を導入し、Erdös測度およびLebesgue測度の両方を保存するgoldenshift変換を構成し、それがBernoulliであることを証明する。これにより、区間上におけるErdös測度のエントロピー次元の明示的公式が得られ、記号的力学および数論における関連問題が解決される。

ABSTRACT

We define a two-sided analog of Erdös measure on the space of two-sided expansions with respect to the powers of the golden ratio, or, equivalently, the Erdös measure on the 2-torus. We construct the transformation (goldenshift) preserving both Erdös and Lebesgue measures on $\Bbb T^2$ which is the induced automorphism with respect to the ordinary shift (or the corresponding Fibonacci toral automorphism) and proves to be Bernoulli with respect to both measures in question. This provides a direct way to obtain formulas for the entropy dimension of the Erdös measure on the interval, its entropy in the sense of Garsia-Alexander-Zagier and some other results. Besides, we study central measures on the Fibonacci graph, the dynamics of expansions and related questions.

研究の動機と目的

• 黄金比展開を用いて、2次トーラス上におけるErdös測度の二面的類似を定義すること。
• Fibonacciトーラス自己同型の誘導自己同型としてgoldenshift変換を構成すること。
• goldenshiftがErdös測度およびLebesgue測度の両方に関してBernoulliであることを証明すること。
• 区間上におけるErdös測度のエントロピー次元の明示的公式を導出すること。
• Fibonacciグラフ上の中心測度およびそのダイナミカルな意味を分析すること。

提案手法

• 黄金比の累乗展開を用いて、2次トーラス上に二面的Erdös測度を定義する。
• Fibonacci制約付きの記号列における標準的シフトの誘導変換としてgoldenshiftを構成する。
• goldenshiftが2次トーラス上におけるErdös測度およびLebesgue測度の両方を保存することを証明する。
• スペクトル的およびエルゴディック理論的技法を用いて、goldenshiftのBernoulli性を確立する。
• goldenshiftのBernoulli性を用いて、測度論的エントロピーを介してErdös測度のエントロピー次元を計算する。
• goldenshiftのダイナミクスおよびその不変測度を用いて、Fibonacciグラフ上の中心測度を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次トーラス上における二面的Erdös測度のエルゴディック性は何か？
• RQ2 goldenshift変換はErdös測度およびLebesgue測度の両方に関してBernoulli的か？
• RQ3 単位区間上におけるErdös測度のエントロピー次元は何か？
• RQ4 Fibonacciグラフ上の中心測度はgoldenshiftのダイナミクスとどのように関係するか？
• RQ5 goldenshiftとFibonacciトーラス自己同型の関係は何か？

主な発見

• goldenshift変換が2次トーラス上におけるErdös測度およびLebesgue測度の両方に関してBernoulliであることが証明された。
• Erdös測度の区間上におけるエントロピー次元が、goldenshiftのダイナミクスを用いて明示的に計算された。
• 本稿では、Garsia-Alexander-Zagierの意味におけるエントロピーの直接的導出がなされた。
• 構成により、Fibonacciグラフ上の記号的力学と2次トーラスとの間に自然な関係が確立された。
• goldenshiftは、Fibonacci置換規則の下で標準的シフトの誘導自己同型として生じる。
• 本研究により、Erdös測度がGibbs測度ではないものの、goldenshiftダイナミクスを通じて明確に定義されたエントロピー次元を有することが確認された。