[論文レビュー] Ergodic properties of polygonal billiards with strongly contracting reflection laws

Gianluigi Del Magno, João Lopes Dias+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、反射角が法線方向に強く引き寄せられる強力な収縮反射法則を有する多角形ビリヤードのエルゴディック性を研究している。このビリヤードは、対応するスラップ写像（直交反射系）と同一のエルゴディックSRB測度の数と同一の混合周期を持つことが証明されており、特に対向する平行な辺を含まない多角形において、既知の結果をより広い収縮ダイナミクスのクラスへと拡張している。

ABSTRACT

Abstract. We consider convex polygonal billiards with a reflec-tion law that contracts the reflection angle towards the normal. Polygonal billiards with orthogonal reflections are called slap maps. For polygons without parallel sides facing each other, the slap map has a finite number of ergodic absolutely continuous invariant probability measures. We show that any billiard with a strongly contracting reflection law has the same number of ergodic SRB measures with the same mixing periods as the ergodic absolutely continuous invariant probabilities of its corresponding slap map. The case of billiards in regular polygons and triangles is studied in detail. 1.

研究の動機と目的

• 強力な収縮反射法則の下での多角形ビリヤードのエルゴディック不変測度を分析すること。
• 収縮ビリヤードのエルゴディックSRB測度とその対応するスラップ写像の絶対連続不変確率測度（acip）との対応関係を確立すること。
• このようなダイナミクスの下で正多角形および三角形におけるエルゴディックSRB測度の数と混合周期を特定すること。
• スラップ写像に関する既知の結果を、法線方向への強い収縮を示すより広いクラスの反射法則へと一般化すること。

提案手法

• 分析は、直交反射を有するビリヤード（スラップ写像）を、エルゴディック不変測度の基準系として用いる。
• 動的システムの技法を用いて、強力な収縮反射法則下での不変測度の構造と直交反射下でのそれらの構造を比較する。
• 多角形に互いに平行な対向する辺がないことを利用して、スラップ写像の場合に有限個のエルゴディックacip測度が存在することを保証する。
• 収縮ビリヤードのエルゴディックSRB測度とその対応するスラップ写像のエルゴディックacip測度との間の一対一対応を確立する。
• 証明は、収縮性の性質に依拠し、反射法則の微小な摂動に対してもエルゴディック成分の構造的安定性と保存性を保証する。
• 正多角形および三角形の検討は、一般対応関係を検証および図示するための具体的な設定を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 強力な収縮反射法則は、多角形ビリヤードにおけるエルゴディックSRB測度の数と構造にどのように影響を与えるか？
• RQ2 収縮ビリヤードのエルゴディックSRB測度とその対応するスラップ写像のエルゴディック絶対連続不変確率測度との関係は何か？
• RQ3 平行な対向する辺を含まない多角形では、収縮ダイナミクス下でも、直交反射の場合と同一のエルゴディック測度の数を保持するか？
• RQ4 正多角形および三角形において、強力な収縮反射法則下でのエルゴディックSRB測度の混合周期は何か？
• RQ5 収縮ビリヤードのエルゴディック性質は、そのスラップ写像の対応する性質によって完全に特徴付けられるか？

主な発見

• 対向する平行な辺を含まない凸多角形ビリヤードにおいて、強力な収縮反射法則下でのエルゴディックSRB測度の数は、対応するスラップ写像におけるエルゴディック絶対連続不変確率測度の数と一致する。
• 収縮ビリヤード系におけるエルゴディックSRB測度の混合周期は、スラップ写像における対応するエルゴディックacip測度のそれと同一である。
• 正多角形および三角形において、エルゴディックSRB測度の数は有限であり、対応するスラップ写像の構造によって完全に決定される。
• 収縮ビリヤードのエルゴディック測度とスラップ写像との対応関係は、法線方向への強い収縮のおかげで安定化され、ダイナミクスが安定する。
• 本研究の結果は、スラップ写像の既知のエルゴディック理論を、法線方向への強い収縮を示すより広いクラスの反射法則へと拡張し、重要なダイナミカル不変量を保存している。