[論文レビュー] Ergodic Properties of weak Asymptotic Pseudotrajectories for Set-valued Dynamical Systems

Mathieu Faure, Grégory Roth|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 24被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、決定的フローから集合値力学系（SVDS）への弱漸近的擬軌道（WAPTs）のエルゴディック理論を一般化し、WAPTsに関連する経験測度の弱∗極限点が、SVDSに対してほとんど確実に不変測度であることを証明する。主な貢献は、BenaïmとSchreiber（2000）のWAPTsに関する結果を微分包含やその他の集合値系に拡張し、滑らかでないまたは多価な力学系における長期的統計的挙動を分析する強固な枠組みを確立することにある。

ABSTRACT

A successful method to describe the asymptotic behavior of various deterministic and stochastic processes such as asymptotically autonomous differential equations or stochastic approximation processes is to relate it to an appropriately chosen limit semiflow. Bena\\"im and Schreiber (2000) define a general class of such stochastic processes, which they call weak asymptotic pseudotrajectories and study their ergodic behavior. In particular, they prove that the weak* limit points of the empirical measures associated to such processes are almost surely invariant for the associated deterministic semiflow. Bena\\"im, Hofbauer and Sorin (2005) generalised this approach to set-valued dynamical systems. We pursue the analogy by extending to these settings the ergodic properties of weak asymptotic pseudotrajectories.

研究の動機と目的

• 決定的フローから集合値力学系（SVDS）への弱漸近的擬軌道（WAPTs）のエルゴディック理論を拡張すること。SVDSは、微分包含などの多価動力学をモデル化する。
• 連続時間のSVDSにおける不変測度および準不変測度を定義し、離散時間および決定的フローからの概念を一般化すること。
• WAPTsに沿った経験測度の弱∗極限点が、基礎となるSVDSに関してほとんど確実に不変測度であることを確立すること。これは、BenaïmとSchreiber（2000）の結果を滑らかでない力学系に一般化する。
• 微分包含に従う確率的近似過程や摂動系の長期的統計的挙動を分析する理論的基盤を提供すること。

提案手法

• 集合値力学系における弱漸近的擬軌道（WAPTs）の厳密な定義を導入し、決定的フローからの概念を一般化する。
• 連続時間のダイナミクスと解空間上の押し出し測度に基づく2つの同等な定式化を用いて、SVDSの不変測度を定義する。
• 軌道に沿った経験測度 μₜ(ω) = (1/t)∫₀ᵗ δ_{X(s,ω)} ds を用いて統計的収束を研究する。
• タイトネスと弱∗収束などの位相的および測度論的技術を用いて、経験測度の極限点を分析する。
• MillerとAkin（1999）およびAubin、Frankowska、Lasota（1991）の結果を活用し、Poincaréの再帰性と不変性をSVDSに拡張する。
• Fubiniの定理と時間シフトにおける測度不変性を用いて、WAPTに沿った経験測度の任意の弱∗極限点が、SVDSの不変測度であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱漸近的擬軌道（WAPTs）のエルゴディック性は、決定的フローから集合値力学系（SVDS）に拡張可能か？
• RQ2 連続時間の集合値力学系における不変測度の適切な定義は何か？
• RQ3 WAPTsに沿った経験測度の弱∗極限点は、決定的ケースと同様に、SVDSのダイナミクスに関して不変のまま保たれるか？
• RQ4 準不変性の概念は、SVDSの文脈で不変性とどのように関係するか？また、すべての不変測度が準不変であるとは限らないか？

主な発見

• 集合値力学系における弱漸近的擬軌道（WAPTs）に関連する経験測度の弱∗極限点は、ほとんど確実にその系の不変測度である。
• 集合値力学系の任意の不変測度は、同時に準不変測度である。これにより、不変性概念の階層が確立される。
• 主な結果は、BenaïmとSchreiber（2000）のWAPTsに関する定理をSVDSに一般化し、極限測度が時間発展に関して不変であることを保証する。
• 証明はFubiniの定理と時間シフトにおける測度不変性に依拠しており、連続関数の時間積分が極限でも保存されることを示す。
• この枠組みは、平均場フローに関してWAPTsをなす確率的近似過程に適用可能である。
• 経験測度族のタイトネスは、確率1で、プロセスがSVDSのBirkhoff中心の任意の小さな近傍にほとんど常にいることを意味する。