[論文レビュー] Ergodic solenoids and generalized currents

Vicente Muñoz, Ricardo Pérez-Marco|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、横断的測度を備えた抽象的な層状空間であるエルゴディック・ソレノイドを導入し、滑らかな多様体への向き付きで測度付きソレノイドの埋め込みを用いて一般化された電流を定義する。これらの一般化電流が、古典的なルーレ・サルスベール電流が制限を受ける自己交差障害を克服し、$H_k(M,\mathbb{R})$ 内の任意の実ホモロジー類を実現できることを示す。

ABSTRACT

We introduce the concept of solenoid as an abstract laminated space. We do a thorough study of solenoids, leading to the notion of ergodic and uniquely ergodic solenoids. We define generalized currents associated with immersions of oriented solenoids with a transversal measure into smooth manifolds, generalizing Ruelle-Sullivan currents.

研究の動機と目的

• 滑らかな多様体における実ホモロジー類の幾何的実現を、埋め込まれた層状構造を用いて行う。
• 自己交差が非ゼロであるホモロジー類を表現できないというルーレ・サルスベール電流の制限を克服する。
• 特にエルゴディックおよび一意的エルゴディック構造に注目して、横断的測度を備えた抽象的層状空間としてのソレノイドを定義し、それらを研究する。
• 埋め込みられた層状構造に限らない、抽象的ソレノイドの埋め込みを許容することで、ルーレ・サルスベール電流を一般化する。
• $H_k(M,\mathbb{R})$ 内の任意の実ホモロジー類が、埋め込まれた向き付きで測度付きソレノイドからの一般化電流によって実現可能であることを示す。

提案手法

• $k$-ソレノイドを、$k$次元の葉を持つ、ハウスドルフ的でコンパクトな、ファイブレーション構造を持つ、有限次元の横断的構造を備えた空間として定義する。
• ホロノミーに関して不変な横断的測度を導入し、埋め込み多様体からの$ k $-形式の引き戻しによる積分を可能にする。
• 局所的積分をグローバルな電流に拡張するため、パーティション・オブ・ユニティと局所的フローボックス分解を用い、引き戻しと横断的測度による積分を通じて一般化電流を構成する。
• コhomology的不変性を保証するために、局所的積分をグローバルに拡張する。
• 双対形式の構成を用いて一般化電流の自己交差を分析し、横断的測度が非原子的である場合にその自己交差が消えることを示す。
• 横断的測度のデヴァル（体積分解型）部と特異部への標準的分解を確立し、ルベーグ分解に類似させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の実ホモロジー類 $H_k(M,\mathbb{R})$ が、埋め込みられた層状構造に関連する電流によって幾何的に実現可能か。
• RQ2 ルーレ・サルスベール電流がホモロジー類を表現できない障害は何か。そして、層状構造のクラスを一般化することでその障害は解消可能か。
• RQ3 ソレノイドが一意的エルゴディックな横断的測度をもつための条件は何か。また、そのような測度は関連する電流にどのように影響を与えるか。
• RQ4 横断的測度に原子を持つことは、ソレノイドにコンパクトな葉が存在することと同値か。
• RQ5 一般化電流の自己交差行動は、古典的なルーレ・サルスベール電流とどのように異なるか。

主な発見

• 埋め込まれた向き付きで測度付きソレノイドに関連する一般化電流は、$H_k(M,\mathbb{R})$ 内の閉じた電流を定め、コhomologyに関して不変である。
• 横断的測度 $\mu$ が非原子的であるとき、一般化電流 $[f,S_\mu]^* \cup [f,S_\mu]^*$ の自己交差は $H^{2(n-k)}(M,\mathbb{R})$ 内で消える。
• ソレノイドにコンパクトな葉が存在しない場合、すべての横断的測度は非原子的であり、したがって関連する一般化電流の自己交差はゼロである。
• 横断的測度に原子が存在することは、ソレノイドにコンパクトな葉が存在することと同値である。
• 任意の実ホモロジー類 $a \in H_k(M,\mathbb{R})$ に対して、一般化電流によって $a$ を実現する横断的埋め込みソレノイドが存在する。これは後続の研究 [6] で示された。
• 固定されたホモロジー類 $a$ を実現する一般化電流の集合は、$a$ を表す閉じた電流の空間において稠密である。これは [7] で確立された。