[論文レビュー] Ergodic theorems for imprecise probability kinematics

Michele Caprio, Sayan Mukherjee|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2020

Bayesian Modeling and Causal Inference参考文献 10被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、データの蓄積に伴い、集合的な事前分布 𝒫 をジェファーソンのルールを用いて更新する、曖昧な確率の力学に関するエルゴディック理論を構築する。非可算な標本空間においても強い大数の法則を確立し、下位確率がほとんど確実に区間へ収束することを証明することで、事前分布の曖昧性下での信念の更新に耐性のある枠組みを提供する。

ABSTRACT

In a standard Bayesian setting, there is often ambiguity in prior choice, as one may have not sufficient information to uniquely identify a suitable prior probability measure encapsulating initial beliefs. To overcome this, we specify a set $\mathcal{P}$ of plausible prior probability measures; as more and more data are collected, $\mathcal{P}$ is updated using Jeffrey's rule of conditioning, an alternative to Bayesian updating which proves to be more philosophically compelling in many situations. We build the sequence $(\mathcal{P}^*_k)$ of successive updates of $\mathcal{P}$ and we provide an ergodic theory to analyze its limit, for both countable and uncountable sample spaces. A result of this ergodic theory is a strong law of large numbers in the uncountable setting. We also give an interval that almost surely contains lower probabilities associated with the elements of $(\mathcal{P}^*_k)$.

研究の動機と目的

• 情報が不十分な状況において、単一の事前分布では初期の信念を適切に表現できないというベイジアン推論における事前分布の曖昧性の課題に対処すること。
• 標準的なベイジアン更新よりも哲学的により説得力のあるジェファーソンのルールを用いて、妥当な事前確率測度の集合 𝒫 の動的更新メカニズムを構築すること。
• データの蓄積に伴い更新される集合の系列 (𝒫*ₖ) に対するエルゴディック理論を確立し、長期的収束解析を可能にすること。
• 非可算な標本空間設定において、頻度主義の収束を曖昧な確率に拡張する強い大数の法則を導出すること。
• 更新された集合 𝒫*ₖ の下位確率を含むほとんど確実な区間を特定することにより、耐性のある不確実性の定量的評価を提供すること。

提案手法

• 初期の不確実性を、妥当な信念の範囲を表す確率測度の集合 𝒫 を用いてモデル化する。
• 新規データの到着に伴い、逐次的にジェファーソンのルールによる条件付き確率更新を適用し、更新された集合の系列 (𝒫*ₖ) を生成する。
• 可算および非可算な標本空間の両方を対象とし、特に非可算な場合に注目を払う。
• エルゴディック理論を用いて (𝒫*ₖ) の漸近的挙動を分析し、下位確率の収束特性に注目する。
• 主な要素として、下位確率評価とほとんど確実な収束結果を用いて、更新された集合の極限的挙動を特徴付ける。
• 測度論的道具を活用することで、非可算な設定においても数学的厳密性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単一の事前分布が初期の信念を適切に表現できない状況において、ベイジアン推論における事前分布の曖昧性を体系的にどのように扱えるか？
• RQ2 データの蓄積に伴い、ジェファーソンのルールで更新される事前分布の集合の長期的挙動はいかなるものか？
• RQ3 この更新メカニズム下で、非可算な標本空間における曖昧な確率に対して強い大数の法則が成立するか？
• RQ4 データの増加に伴い、更新された集合 (𝒫*ₖ) の下位確率を含むほとんど確実な区間を特定できるか？
• RQ5 この曖昧な確率の力学フレームワーク下で、下位確率の収束特性はどのようなものか？

主な発見

• 非可算な標本空間設定において強い大数の法則が確立され、頻度主義の収束が曖昧な確率モデルへ拡張された。
• 更新された集合の系列 (𝒫*ₖ) は分布収束するが、その際下位確率はほとんど確実に指定された区間内に存在する。
• 下位確率を含む区間は、ほとんど確実に有界であり、ジェファーソンのルールを繰り返し適用しても安定している。
• 開発されたエルゴディック理論により、更新された集合の長期的挙動は予測可能で数学的に整合的であることが保証される。
• 事前分布の指定が曖昧な状況において、標準的な更新とは異なる耐性のある非ベイジアン代替手法を提供する。
• 結果は、一意な事前分布が存在しない状況下でも、曖昧な確率モデルの整合性と収束性を確認する。