[論文レビュー] Ergodic Theorems for Lower Probabilities

Simone Cerreia‐Vioglio, Fabio Maccheroni+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2015

Probability and Statistical Research参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、標準確率測度の非加法的一般化である下位確率に対して、4つの不変性の概念を導入し、有界可測関数の時間平均が下位確率に関してほとんど確実に収束することを証明することで、下位確率におけるエルゴード定理を確立する。主な貢献は、エルゴード性の下でChoquet積分を用いて導かれる収束バインディングを伴う非加法的バージョンの大数の法則である。

ABSTRACT

We establish an Ergodic Theorem for lower probabilities, a generalization of standard probabilities widely used in applications. As a by-product, we provide a version for lower probabilities of the Strong Law of Large Numbers.

研究の動機と目的

• 標準的加法的確率が不確実性をモデル化できなくなる状況において用いられる、非加法的集合関数である下位確率へのエルゴード理論の一般化を目的とする。
• 下位確率のための複数の不変性の概念を定義・分析し、加法的状況では同値であるが、非加法的状況では異なる役割を果たすことを示す。
• 時間平均が下位確率に関して1の集合上 almost surely 収束する非加法的エルゴード定理を確立する。
• 下位確率測度の下で定常かつエルゴード的過程に対して、非加法的大数の法則のバージョンを確立する。
• エルゴード性およびより強い不変性条件の下で、時間平均の極限を下位および上位Choquet積分を用いて特徴付ける。

提案手法

• 下位確率のための4つの不変性の定義を導入し、定義1が最も弱いが、主なエルゴード結果を示すのに十分である。
• Choquet積分を用いて時間平均の極限をバインディングし、下位確率の共役上位確率およびコアを活用する。
• より強い不変性条件の下で、非加法的設定においてKingmanの超加法的・準加法的エルゴード定理を適用して収束を導出する。
• 下位確率のコアにおける弱*位相における連続性およびコンパクト性の議論を用いて、積分の収束を保証する。
• 凸容量の性質およびSにおける連続性を用いて、収束集合が下位確率1をもつことを示すことで、時間平均の収束を確立する。
• 可測選択および一様有界性を用いて、下位確率のコアの文脈における収束定理を応用して、極限と積分の交換を正当化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非加法的かつ連続的集合関数である下位確率に対して、エルゴード定理を確立できるか？
• RQ2 下位確率のための異なる不変性の概念はどのように関係し合い、時間平均の収束を保証するのにどの概念が十分か？
• RQ3 下位確率測度の下での非加法的大数の法則の類似物は何か？
• RQ4 下位確率がエルゴード的であるとき、Choquet積分を用いて時間平均の極限をどのようにバインディングできるか？
• RQ5 有界可測関数の時間平均の極限が下位確率に関して almost surely 存在するための条件は何か？

主な発見

• 有界可測関数の時間平均は、エルゴード性の下で、その関数の下位および上位Choquet積分の間にある極限にν-ほとんど確実に収束する。
• シフト不変かつエルゴード的な下位確率に対して、時間平均の極限は、下位および上位確率に関する極限関数のChoquet積分によってほとんど確実にバインディングされる。
• 基礎となる空間が標準的ボレルであり、下位確率がSで連続であるとき、時間平均の極限は下位確率のコアを用いて正確に特徴付けられる。
• 本稿では、非加法的大数の法則のバージョンを証明する：定常かつエルゴード的過程に対して、経験的平均は、最初の確率変数の下位および上位Choquet積分で与えられる区間へ収束する。
• より強い不変性条件の下では、時間平均の収束が下位確率1で保証され、極限は不変σ代数に関して可測である。
• 極限関数が可測であり、極限の積分が積分の極限に等しいことが、一様有界性およびコアにおける収束定理を用いて示される。