[論文レビュー] Ergodic theory for smooth one-dimensional dynamical systems

Mikhail Lyubich|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 1991

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 13被引用数 24

ひとこと要約

この論文は、負のシュバルツ微分を仮定しない滑らかな1次元力学系に対して、包括的なエルゴード的分解を確立する。グローバルアトラクターが有限個の原始的アトラクターに分解され、それぞれがエルゴード成分に対応することを証明し、グローバルアトラクターが0集合を除いて保存的核に一致することを示し、このような系における完全な測度論的構造を提供する。

ABSTRACT

In this paper we study measurable dynamics for the widest reasonable class of smooth one dimensional maps. Three principle decompositions are described in this class : decomposition of the global measure-theoretical attractor into primitive ones, ergodic decomposition and Hopf decomposition. For maps with negative Schwarzian derivative this was done in the series of papers [BL1-BL5], but the approach to the general smooth case must be different.

研究の動機と目的

• 負のシュバルツ微分条件を越えて、滑らかな1次元写像の一般エルゴード理論を構築すること。
• グローバル測度論的アトラクターを原始的アトラクターに分解すること。
• 非自明な力学的領域 Λ(f) における原始的アトラクターとエルゴード成分の間の一対一対応を確立すること。
• カントールアトラクターの構造を位相的および測度論的に特徴づけ、その力学的意義を明らかにすること。
• グローバルアトラクターが0集合を除いて保存的核に一致することを示し、エルゴード理論とアトラクター理論を結びつけること。

提案手法

• 自明な力学（極限サイクルおよび正の測度の非極限軌道をもつ周期的ホンターバル）を除いた集合 Λ(f) を定義する。
• エルゴード的分解を用いて、Λ(f) を正の測度を持つ有限個の不変集合 E_i に分割し、各 E_i が f のエルゴード的制限をもつようにする。
• 軌道の再帰性および近傍再帰性の性質を用いて、エルゴード成分 E_k から原始的アトラクター A_k を構成する。
• 密度および帰還時間の推定を含む位相的・測度論的議論を適用し、アトラクターの最小性および一意性を証明する。
• ホフプの分解とポincareの再帰を用いて、グローバルアトラクター A(f) が0集合を除いて保存的核 K(f) に一致することを示す。
• 臨界点の構造およびその ω-極限集合を活用し、アトラクターと臨界点の対応の単射性および有限性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかな1次元写像のグローバルアトラクターは、負のシュバルツ微分を仮定しない場合に、最小で原始的なアトラクターにどのように分解できるか？
• RQ2 この設定において、エルゴード的分解、ホフプの分解、およびアトラクター分解の間の正確な関係は何か？
• RQ3 カントールアトラクターは位相的および測度論的に特徴づけられるか？ また、それらの力学的意義は何か？
• RQ4 1次元系における写像 f の保存的核は、グローバルアトラクターとどのように関係しているか？
• RQ5 臨界点は、原始的アトラクターの構造を決定づける役割を果たすのか？

主な発見

• f|Λ(f) は有限個のエルゴード成分 E_i をもち、Λ(f) は0集合を除いてこれらの有限和に分解される。
• グローバルアトラクター A(f|Λ(f)) は、有限個の無限の原始的アトラクター A_k に分解され、それぞれがエルゴード成分 E_k に対応する。
• M のほとんどすべての x に対して、軌道は周期的ホンターバルのサイクルに到達するか、極限サイクルに収束するか、またはある原始的アトラクター A_k に対して ω(x) = A_k を満たす。
• 各原始的アトラクター A_k は少なくとも1つの臨界点を含み、任意の異なる二つの A_k の共通部分は高々有限個である。
• RL(A_k) は0集合を除いて E_k に一致し、原始的アトラクターとエルゴード成分の間の一対一対応が確立される。
• グローバルアトラクター A(f) は0集合を除いて保存的核 K(f) に一致し、1次元におけるエルゴード理論とアトラクター理論を結びつける。