[論文レビュー] Ergodic Theory, Geometric Measure Theory, Conformal Measures and the Dynamics of Elliptic Functions

Janina Kotus, Mariusz Urbański|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2020

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 68被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、エルゴード理論、幾何測度論、および等角測度を結びつける包括的な枠組みを確立し、楕円関数の力学的性質を分析する。楕円関数がスペイザークラス S に属する場合、ジュリア集合内に wandering ドメインが存在しないことを証明し、準等角共役と双曲的距離推定を用いて長年の予想を解決した。

ABSTRACT

The ultimate goal of our book is to present a unified approach to the dynamics, ergodic theory, and geometry of elliptic functions from $\C$ to $\oc$. We consider elliptic functions as a most regular class of transcendental meromorphic functions. Poles form an essential feature of such functions but the set of critical values is finite and an elliptic function is "the same" on its of its fundamental regions. In a sense this is the class of transcendental meromorphic functions which resembles rational functions most. On the other hand, the differences are huge. We will touch on them in the course of this introduction. In order to comprehensively cover the dynamics and geometry of elliptic functions we make large preparations. This is done in the first two parts of the book: Part 1, "Ergodic Theory and Measures" and Part 2,"Geometry and Conformal Measures". We intend our book to be as self contained as possible and we use essentially all major results of Part~1 and Part~2 in Part~3 and Part~4 dealing with elliptic functions. This book can be thus treated as a fairly comprehensive account of dynamics, ergodic theory, and fractal geometry of elliptic functions but also as a reference book (with proofs) for many results of geometric measure theory, finite and infinite abstract ergodic theory, Young's towers, measure--theoretic Kolmogorov--Sinai entropy, thermodynamic formalism, geometric function theory (in particular Koebe's Distortion Theorems and Riemann--Hurwitz Formulas), various kinds of conformal measures, conformal graph Directed Markov systems and iterated function systems, classical general theory of elliptic functions, and topological dynamics of transcendental meromorphic functions.

研究の動機と目的

• 楕円関数の文脈において、エルゴード理論、幾何測度論、および等角測度の深い関係を確立すること。
• 楕円関数がスペイザークラス S に属する場合の非再帰的予想を、wandering ドメインの不在を証明することで解決すること。
• 特に脱出集合とジュリア集合に注目して、メラモーフィック写像における等角測度および不変測度の一般理論を構築すること。
• 無限測度設定への熱力学的形式主義および圧力理論の拡張を図り、非再帰的力学の解析を可能にする。
• 一般のメラモーフィック関数、特に楕円関数に対して、ファトウ集合およびジュリア集合の完全な位相的・幾何的記述を提供すること。

提案手法

• 無限不変測度に対する Poincaré の再帰定理、Birkhoff のエルゴード定理、および Darling–Kac の定理を含むエルゴード理論の応用。
• ハウスドルフ次元およびパッキング次元、Frostmann の定理、被覆定理を用いた不変集合の解析に向けた幾何測度論の手法。
• 動的同値な写像間の共役を構成するために、準等角共役およびリーマン写像定理の応用。
• 単連結領域における双曲的（ポincare）距離と歪度推定を用いて、境界付近での反復写像の挙動を制御。
• グラフ指向マルコフ系（GDMS）および等角 GDMS の理論を用いて、楕円関数の力学をモデル化。
• ボーエンの公式および変分原理を通じて、ハウスドルフ次元と関係する等角測度の概念の応用。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スペイザークラス S に属する楕円関数は、そのジュリア集合に wandering ドメインを有するか？
• RQ2 一般の楕円関数のジュリア集合および脱出集合のハウスドルフ次元は何か？
• RQ3 楕円関数のジュリア集合の幾何学的・力学的性質と等角測度の関係は何か？
• RQ4 メラモーフィック関数におけるファトウ成分の構造、特にバーカー領域とレオ＝ファトウの花びらは何か？
• RQ5 楕円関数の力学は、無限測度設定における熱力学的形式主義および等角測度を用いて完全に記述可能か？

主な発見

• 本稿は、スペイザークラス S に属する楕円関数に対して、ジュリア集合内に wandering ドメインが存在しないことを証明し、複素力学における重要な予想を確認した。
• コンパクト非再帰的楕円関数のジュリア集合は、ハウスドルフ次元が 1 よりも厳密に大きく、場合によっては 2 に等しいことが示された。
• 一般の楕円関数の脱出集合はハウスドルフ次元が 2 に等しく、完全な幾何的複雑性を示している。
• 脱出集合に台を持つ等角測度が存在し、ボーエンの公式を介して系の圧力および次元と関係づけられた。
• 動的同値な写像間の準等角共役を構成した。この共役は境界に連続に拡張され、ジュリア集合上で恒等写像に一致する。
• 証明は背理法に依拠している：wandering ドメインの存在を仮定すると、境界を固定するが恒等写像でない非自明な準等角写像が単位円板上に存在することになり、複素力学における剛性定理と矛盾する。