[論文レビュー] Ergodic Theory on Stationary Random Graphs

Itaï Benjamini, Nicolas Curien|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2010

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 17被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、指数的成長より小さい成長を示す定常ランダムグラフが、ほとんど確実にリウヴィル的であることを確立している。これは、非定数の有界な調和関数をもたないことを意味する。群論から適応されたエントロピー技法を用いて、特に均一無限平面四角形格子（UIPQ）のようなグラフに対し、これがリウヴィル的であることを証明し、無限のランダムグラフにおけるランダムウォークの理解を進めた。

ABSTRACT

A stationary random graph is a random rooted graph whose distribution is invariant under re-rooting along the simple random walk. We adapt the entropy technique developed for Cayley graphs and show in particular that stationary random graphs of subexponential growth are almost surely Liouville, that is, admit no non constant bounded harmonic function. Applications include the uniform infinite planar quadrangulation and long-range percolation clusters.

研究の動機と目的

• ケイリー・グラフから、指数的成長より小さい成長を示す定常ランダムグラフへ、リウヴィル性を拡張すること。
• 次数が有界でないため、標準的手法が失敗する状況下で、均一無限平面四角形格子（UIPQ）における単純ランダムウォークの再帰性／非再帰性を解明すること。
• 測度的同値関係におけるエルゴード理論的技法を、ランダムグラフの文脈へ一般化すること。
• 指数的成長より小さい成長を示す平面的で、非再帰的で、定常的かつ可逆的なランダムグラフの構成を通じて、有界次数の平面的グラフに対する局所極限理論の適用可能性の限界に挑戦すること。

提案手法

• 群論におけるエントロピー法を定常ランダムグラフへ適応し、根のまわりの球の成長率を用いて調和関数を制御する。
• 定常ランダムグラフを、単純ランダムウォークに沿った再ルート化に関して分布が不変であるものとして定義する。
• n→∞ のとき、球のサイズの対数の期待値を n で割った量が 0 に収束するという条件を用い、リウヴィル性を示す。
• エントロピー技法を適用して、非リウヴィル的で有界次数の定常ランダムグラフでは、ランダムウォークが正の速度（ボールスティック）を示すことを示す。
• 臨界ガルトン＝ワトソン木の辺を、深さの二乗に比例する多重辺に置き換えることで、ランダムグラフを構成し、指数的成長より小さい成長と非再帰性を保証する。
• 局所位相（d_loc）における弱収束を用いて、有限ランダムグラフの列の極限が、定常的かつ可逆的な無限グラフであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 指数的成長より小さい成長を示す定常ランダムグラフは、常にリウヴィル的であるか、すなわち非定数の有界調和関数をもたないか？
• RQ2 次数が有界でないにもかかわらず、均一無限平面四角形格子（UIPQ）はほとんど確実にリウヴィル的であるか？
• RQ3 指数的成長より小さい成長を示す、平面的で、非再帰的で、定常的かつ可逆的なランダムグラフが存在するか？
• RQ4 定常ランダムグラフにどのような条件が成立すれば、単純ランダムウォークがゼロ速度を示すか、あるいはボールスティック運動を示すか？
• RQ5 有界次数の有限平面的グラフに対する局所極限理論を、無限次数の状況へ拡張可能か？

主な発見

• 指数的成長より小さい成長条件（n^{-1} E[log #B(ρ,n)] → 0 として n→∞）を満たす定常ランダムグラフは、ほとんど確実にリウヴィル的である。
• 均一無限平面四角形格子（UIPQ）は、ほとんど確実にリウヴィル的であることが確認され、その再帰性に関する予想が裏付けられた。
• 臨界ガルトン＝ワトソン木の辺を深さの二乗に比例する多重辺に置き換えることで、指数的成長より小さい成長を示す平面的で、非再帰的で、定常的かつ可逆的なランダムグラフが構成された。
• 有界次数の定常ランダムグラフにおいて、可逆性が成り立たない場合、単純ランダムウォークはボールスティック運動を示す。
• エントロピー法は、群や同値関係から、より広範な定常ランダムグラフの文脈へも成功裏に拡張された。
• 局所位相における有限ランダム平面グラフの弱極限は、指数的成長より小さい成長を示しても、リウヴィル的でないことがある。これは、有界次数の局所極限理論の限界を示している。