[論文レビュー] Ergodic Theory Over ${\F}_2[[T]]$

Dongdai Lin, Tao Shi+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2011

advanced mathematical theories参考文献 14被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、$\ mathbb{F}_2[[T]]$ 上の1リプシッツ関数に対するエルゴディック理論を確立し、カルチッツ多項式を用いて測度保存性およびエルゴディック性の明示的条件を導入する。主な貢献は、カルチッツ基底における係数条件を用いたエルゴディック関数の特徴付けであり、$\ mathbb{F}_2[[T]]/T^{n+1}$ 上の推移的変換のアルゴリズム的構成を可能にする。暗号および擬似乱数列生成への応用を有する。

ABSTRACT

In cryptography and coding theory, it is important to study the pseudo-random sequences and the ergodic transformations. We already have the 1-Lipshitz ergodic theory over ${\Z}_2$ established by V. Anashin and others. In this paper we present an ergodic theory over ${\F}_2[[T]]$ and some ideas which might be very useful in applications.

研究の動機と目的

• $\ mathbb{Z}_2$ におけるwell-establishedな理論に類似した、$\ mathbb{F}_2[[T]]$ 上の1リプシッツ関数に対する包括的なエルゴディック理論の構築を目的とする。
• カルチッツ多項式基底を用いて、$\ mathbb{F}_2[[T]]$ 上に定義された関数の測度保存性およびエルゴディック性の明示的必要十分条件を提供すること。
• $\ mathbb{F}_2[[T]]/T^{n+1}$ 上の推移的変換のアルゴリズム的構成を可能にし、ストリーム暗号設計に有用である。
• $p$-進エルゴディック理論の知見を、特に$\ mathbb{F}_2[[T]]$ を含む正標数関数体へ一般化すること。

提案手法

• 本稿は、$p$-進解析における二項係数基底の類似として、カルチッツ多項式基底 $G_i(x)$ を用い、$\ mathbb{F}_2[[T]]$ 上の連続関数の展開を可能にする。
• $\ mathbb{F}_2[[T]]$ に適した変更版のヴァン・デル・プット基底を導入し、関数の係数条件によるエルゴディック関数の特徴付けを可能にする。
• 関数が $T^{n+1}$ を法として推移的となるように、二進データ $a(k,j)$ を用いて、$2^{n+1}$ 個の点における関数の作用を定義する再帰的構成法を導出する。
• 重要な技術的手法として、$k$ を増加させながら関数の $T^k$ を法とした挙動を分析し、係数制約を通じて各レベルでの推移性を保証する。
• エルゴディック性の証明は、関数が $\ mathbb{F}_2[[T]]/T^{n+1}$ 上で単一のサイクルを生成することを示すことにより行い、低レベルから高レベルへの再帰的リフトを用いる。
• 本稿は、$f(x) = \sum_{i=0}^\infty a_i G_i(x)$ に対して、$n \geq 2$ に対して $|a_n|_T < |T|_T^{\lfloor \log_2 n \rfloor}$ が成り立つならばエルゴディック性が成立するという基準を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\ mathbb{F}_2[[T]]$ 上の1リプシッツ関数がエルゴディックであるための必要十分条件は何か？
• RQ2 マーラー基底やヴァン・デル・プット基底に類似する基底を用いて、$\ mathbb{F}_2[[T]]$ 上のエルゴディック関数をどのように明示的に構成できるか？
• RQ3 $\ mathbb{F}_2[[T]]/T^{n+1}$ 上の推移的変換を、有限個のパラメータからアルゴリズム的に生成できるか？
• RQ4 構造的および応用的観点から、$\ mathbb{F}_2[[T]]$ 上のエルゴディック理論は、$\ mathbb{Z}_2$ 上の確立された理論とどのように比較できるか？
• RQ5 カルチッツ多項式基底は、正標数における測度保存関数およびエルゴディック関数を特徴付ける上で果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿は、$n \geq 2$ に対して $|a_n|_T < |T|_T^{\lfloor \log_2 n \rfloor}$ であるという条件により、$\ mathbb{F}_2[[T]]$ 上のエルゴディック1リプシッツ関数を完全に特徴付ける。ここで $a_n$ はカルチッツ多項式展開における係数である。
• 例 $f(x) = 1 + (1+T)x + \sum_{n=2}^\infty T^n G_{2^n - 1}(x)$ を用いて、$\ mathbb{F}_2[[T]]$ 上にエルゴディック1リプシッツ関数が多項式ではありえないことを証明する。
• 二進パラメータ $a(k,j)$ を用いて、$\ mathbb{F}_2[[T]]/T^{n+1}$ 上の推移的関数を再帰的に構成するアルゴリズムを構築し、すべての $k \leq n+1$ に対して $T^k$ を法とした推移性を保証する。
• この構成法により、低レベルの商からの推移的作用のリフトを用いて、$\ mathbb{F}_2[[T]]$ 上のすべてのエルゴディック1リプシッツ関数を生成可能である。
• この理論により、エルゴディック変換を用いた長周期擬似乱数列の生成が可能となり、ストリーム暗号および符号理論への応用を有する。
• 本研究の結果は、アナーシンによる $p$-進エルゴディック理論を正標数へ一般化し、関数体に対応する平行な枠組みを提供する。