[論文レビュー] Ergodicity and weak mixing for group-indexed infinitely divisible stationary processes

Nachi Avraham-Re'em, Emmanuel Roy|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2026

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ひとこと要約

著者らは、確率収束性で可分な確率的連続性を持つ遍歴的に無限可算で定常な過程が、任意の指数付けグループに対して弱混合であることを示す。これは確率的連続性の拡張とポアソン懸濁を用いた。

ABSTRACT

We prove that for an arbitrary indexing group, every ergodic infinitely divisible stationary process that is separable in probability is weakly mixing. This shows that, as in the well-known case of Gaussian stationary processes, ergodicity implies weak mixing is intrinsic to infinite divisibility, removing all structural assumptions on the group from prior results. The main ingredient is a general construction of stochastically continuous extensions for separable in probability stationary processes, reducing the problem to stochastically continuous processes indexed by Polish groups and then to countable groups, where we combine the Maruyama representation with an ergodicity criterion for Poisson suspensions.

研究の動機と目的

• ガウスケースの一般化を動機づける：任意の群で指標づけられたID定常過程に対するエルゴード性が弱混合を意味すること。
• 「確率での可分性」が指標群に対する位相的仮定を置換することを示す。
• 構造的な群の制約なしに、ID定常過程に対してエルゴード性が弱混合を意味することを示す。
• 問題をポリッシュ群と可算稠密部分群へ削減する構成を提供する。

提案手法

• 確率での可分性を持つ定常G過程の、Polish群 ĝGhat への確率的連続拡張を構築する（定理3.1）。
• 拡張下で分布類とエルゴード性・弱混合性の性質を保持する（エルゴード性と弱混合の同値性）。
• Polish群で指標づけられた確率的連続過程へと縮小し、さらにLemma 3.12を用いて可算群へ縮小する。
• 可算群に対してMaruyama表現を適用し、ポアソン懸濁のエルゴード性基準を用いる。
• Samorodnitsky型の議論を活用：Lévy測度に関連する零のポアソン懸濁によってエルゴード性を特徴づけ、弱混合性を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エルゴード性は、確率分離性の下で、すべての群で指標づけられた無限可算定常過程に対して弱混合を意味するのか？
• RQ2 確率での可分性は、エルゴード性が弱混合を意味することを確立する際、群構造仮定（局所コンパクト性や適和性など）を置換できるか？
• RQ3 問題を扱いやすい場合へ縮小するために、Polish群への確率的連続拡張をどのように構成するか？
• RQ4 ポアソン懸濁とMaruyama表現は、エルゴード性/弱混合性の同値性においてどんな役割を果たすか？

主な発見

• 任意の指標づけ群に対して、確率での可分性を持つエルゴード的無限可算定常過程は弱混合である。
• 一般的な構成により、エルゴード性と弱混合性を保持するPolish群への確率的連続拡張を得る。
• 拡張により、可算稠密部分群への縮小が可能となり、Maruyama表現に基づくエルゴード性基準を適用できる。
• 可算群については、Lévy測度に結びつく零のポアソン懸濁を用いてエルゴード性を特徴づけ、弱混合を得る。
• この結果は、群位相の違いではなく、内在的な微小構造によってガウスおよび無限可分ポアソニアンのケースを統一する。