[論文レビュー] Ergodicity for a stochastic Hodgkin-Huxley model driven by Ornstein-Uhlenbeck type input

Reinhard Höpfner, Eva Löcherbach+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2013

stochastic dynamics and bifurcation参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、ノイズのある dendritic 入力を表す Ornstein-Uhlenbeck プロセスによって駆動される確率的 Hodgkin-Huxley ニューロンモデルのエルゴード性を確立する。弱 Hörmander 条件が全空間で成立することを証明し、Lyapunov 関数を構成することで、系は高々有限個の極値不変測度しか持たないことが示され、決定論的ケースと比較して長期的複雑性が著しく低減される。

ABSTRACT

We consider a model describing a neuron and the input it receives from its dendritic tree when this input is a random perturbation of a periodic deterministic signal, driven by an Ornstein-Uhlenbeck process. The neuron itself is modeled by a variant of the classical Hodgkin-Huxley model. Using the existence of an accessible point where the weak Hoermander condition holds and the fact that the coefficients of the system are analytic, we show that the system is non-degenerate. The existence of a Lyapunov function allows to deduce the existence of (at most a finite number of) extremal invariant measures for the process. As a consequence, the complexity of the system is drastically reduced in comparison with the deterministic system.

研究の動機と目的

• 時間非定常でノイズのある入力を有する、dendritic ネットワークからの入力を持つ確率的 Hodgkin-Huxley モデルの長期的挙動を分析すること。
• 確率的摂動下での不変測度の存在を確立し、その構造を特徴付けること。
• 高次元の退化性にもかかわらず、有限個の極値不変測度が存在することを証明することで、系の複雑性を低減すること。
• 解析的係数と周期的駆動を有する高次元で極めて退化した、時間非定常な SDE に対するエルゴード理論を拡張すること。

提案手法

• 入力の駆動をブラウン運動で表す 5 次元 SDE を用いて、ニューロンの膜電位とガーディング変数をモデル化する。
• dendritic 入力を、半群に T 周期の確定的信号を埋め込んだ、平均回帰的な Ornstein-Uhlenbeck プロセスとして表現する。
• 信号および係数の解析性を用いて、全状態空間の各点で弱 Hörmander 条件が一様に成立することを証明する。
• Lyapunov 関数を構成することで、T-スケルトン連鎖および拡張されたトーラス値過程のハリス再帰性を確立する。
• Lebesgue の分解定理と Nummelin の分割を用いて、スケルトン連鎖および拡張過程の不変測度を分析する。
• サポート定理および制御集合理論を適用し、不変制御集合が有限個かつ互いに素であること、したがって極値不変測度が有限個であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間非定常かつ退化的な力学的条件下で、Ornstein-Uhlenbeck 入力を有する確率的 Hodgkin-Huxley モデルは不変測度を有するか？
• RQ2 解析的かつ周期的入力を有する 5 次元の退化 SDE に対して、弱 Hörmander 条件が全空間で一様に成立するか？
• RQ3 このような系が有する極値不変測度の数はいくつであり、これにより長期的統計的挙動にどのような意味が生じるか？
• RQ4 非マルコフ的かつ時間非定常な設定下で、スケルトン連鎖および拡張されたトーラス値過程のハリス再帰性を確立できるか？
• RQ5 解析性が遷移密度の正則性および不変測度の有限性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 弱 Hörmander 条件が全状態空間のすべての点で一様に成立し、過程の遷移密度が 5 次元 Lebesgue 測度に関して連続であることが保証される。
• 系は Lyapunov 関数を有しており、これは T-スケルトン連鎖およびトーラス上での拡張過程のハリス再帰性を意味する。
• 過程は高々有限個の極値不変測度を有し、それらすべてが連続な Lebesgue 密度を持つ。
• 各極値不変測度のサポートは、互いに素な不変制御集合に含まれており、状態空間における球の有限被覆により、その集合が有限個であることが保証される。
• トーラス上での拡張過程は、スケルトン連鎖の不変測度の族に分解可能な不変測度を有し、その分解において極値性が保たれる。
• 有限個の極値不変測度の存在は、決定論的ケースと比較して系の長期的統計的複雑性が著しく低減されることを示唆する。