[論文レビュー] Ergodicity for the $GI/G/1$-type Markov Chain

Yong-Hua Mao, Yongming Tai+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2012

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 23被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、システムパラメータと行列解析を用いて、$GI/G/1$-型マルコフ連鎖における幾何的、強力および多項式的エルゴード性の必要十分条件を確立する。エルゴード性と定常分布の尾部漸近挙動を結びつけ、定常分布における減衰率とエルゴード性における収束速度の間の同値性を示し、キューイング理論および確率過程における既知の結果を相互に応用可能にする。

ABSTRACT

Ergodicity is a fundamental issue for a stochastic process. In this paper, we refine results on ergodicity for a general type of Markov chain to a specific type or the $GI/G/1$-type Markov chain, which has many interesting and important applications in various areas. It is of interest to obtain conditions in terms of system parameters or the given information about the process, under which the chain has various ergodic properties. Specifically, we provide necessary and sufficient conditions for geometric, strong and polynomial ergodicity, respectively.

研究の動機と目的

• システムパラメータと尾部漸近挙動を用いて、$GI/G/1$-型マルコフ連鎖における幾何的、強力および多項式的エルゴード性の必要十分条件を導出すること。
• 同値条件を同定することで、エルゴード性と定常分布の尾部漸近挙動を結びつけること。
• 一般マルコフ連鎖に関する既存の結果を、ブロック構造を持つ遷移行列を有する特定の$GI/G/1$-型構造へと拡張すること。
• キューイングシステムおよび確率モデルに直接適用可能なパラメータに基づくエルゴード性の基準を提供すること。
• 既知の尾部挙動に関する結果を用いてエルゴード収束速度を推論可能とし、逆にエルゴード性の性質から尾部挙動を推定可能とするための相互利用を可能とすること。

提案手法

• 特に補題2.3を用いて、ブロック構造を持つ遷移行列のスペクトル性質を分析し、幾何的エルゴード性を検討する。
• 母関数技術と母関数の$l$次微分を用いて、最初の到達時刻のモーメントを特徴付ける。
• 因数分解結果と行列母関数を用いて、$R_k$および$R_{0,k}$の振る舞いとエルゴード性条件との関係を明らかにする。
• $\sum_{k=1}^\infty k^l R_{0,k} \mathbf{e}^t < \infty$および$\sum_{k=1}^\infty k^l \sum_{n=0}^\infty R_k^{n*} \mathbf{e}^t < \infty$という関係を、モーメントの有限性の主要基準として用いる。
• グラスマンとヘイマン[7]の定理1およびチョウの定理12[24]を適用し、$R_{0,k} \geq B_k$および$R_k \geq A_k$を導出し、パラメータに基づく境界を得る。
• 多項式的成長とモーメント条件との関係を示すために、$\lim_{k\to\infty} \frac{k(k-1)\cdots(k-l+1)}{k^l} = 1$の極限を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 システムパラメータを用いて、$GI/G/1$-型マルコフ連鎖における幾何的エルゴード性の必要十分条件は何か？
• RQ2 レベル0への最初の到達時刻のモーメントは、定常分布の尾部挙動とどのように関係しているか？
• RQ3 多項式的エルゴード性を保証する条件は何か？ また、それらは定常分布の減衰率とどのように関係するか？
• RQ4 $GI/G/1$-型連鎖において、エルゴード性の速度と尾部漸近挙動の間の同値性を形式的に確立できるか？
• RQ5 母関数および行列因数分解技術を用いて、エルゴード性のモーメント条件をどのように導出できるか？

主な発見

• 定理3.1は、$\sum_{k=0}^\infty k A_k \mathbf{e}^t < \infty$の収束に基づく幾何的エルゴード性の必要十分条件を提供する。
• 定理4.1は、幾何的エルゴード性が定常分布の尾部における幾何的減衰と同値であることを確立する。
• 定理5.2は、$\sum_{k=0}^\infty k A_k \mathbf{e}^t < \infty$の条件下で、すべての$j$について$\mathbb{E}_{(0,j)}[\tau_0^l] < \infty$が成り立つことと、$\sum_i i^l \pi_{ij} < \infty$が成り立つことが同値であることを示す。
• 定理5.3は、$l \geq 2$において多項式的エルゴード性が$\sum_i i^l \pi_{ij} < \infty$と同値であることを証明し、最初の到達時刻のモーメントの有限性と尾部減衰を結びつける。
• 本稿は、多項式的エルゴード性と多項式的尾部減衰の両方を保証する同一の条件$\sum_{k=1}^\infty k^l B_k \mathbf{e}^t < \infty$および$\sum_{k=1}^\infty k^l A_k \mathbf{e}^t < \infty$が成り立つことを示している。
• エルゴード性と尾部漸近挙動の間の同値性により、両者の間で手法を相互に利用可能となる：既知の尾部挙動に関する結果からエルゴード性を推論可能であり、逆にエルゴード性の性質から尾部挙動を推定可能となる。