[論文レビュー] Ergodicity of Mapping Class Group Actions on SU(2)-character varieties

William M. Goldman, Eugene Z. Xia|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2009

Geometric and Algebraic Topology参考文献 18被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、境界を持つコンパクトな向きつけ可能曲面上のSU(2)-特徴的多様体における写像類群作用のエルゴディック性について、新しいシンプレクティック幾何的証明を提供する。単純閉曲線のトレース関数に関連するハミルトニアン・フローとS¹上の無理数回転のエルゴディック性を活用することで、写像類群に関して不変な任意の可測関数がほとんど everywhere で定数であることを示し、可約表現でない部分多様体という滑らかでシンプレクティックかつ余密な開部分集合上でエルゴディック性を確立する。

ABSTRACT

Let S be a compact orientable surface with genus g and n boundary components d_1,...,d_n. Let b = (b_1, ..., b_n) where b_n lies in [-2,2]. Then the mapping class group of S acts on the relative SU(2)-character variety X comprising conjugacy classes of representations f of the fundamental group F of S, where trace f(d_i) = b_i. This action preserves a symplectic structure on the open dense smooth submanifold of X. corresponding to irreducible representations. This subset has full measure and is connected. In this note we use the symplectic geometry of this space to give a new proof that this action is ergodic.

研究の動機と目的

• 写像類群作用のSU(2)-特徴的多様体におけるエルゴディック性について、新しい簡潔な証明を提供すること。
• 単純閉曲線のトレース関数に関連するシンプレクティック構造とハミルトニアン・フローを用いてエルゴディック性を確立すること。
• ドゥェン・ツイストに関する不変性が、生成されたフロー群の推移性によって、写像類群全体に対する不変性にまで拡張されることを示すこと。
• 可約表現の滑らかでシンプレクティックかつ全測度部分集合上で、作用がエルゴディックであることを示すこと。

提案手法

• 可約表現の部分多様体としての、SU(2)-表現の共役類に関する開密な部分多様体上のシンプレクティック構造を利用する。
• 単純閉曲線αに対してfα(ρ) = tr(ρ(α))と定義されるトレース関数に関連するハミルトニアン・ベクトル場を適用する。
• ドゥェン・ツイストが、トレースによって定義されるパrameter s(ρ(α))を介して、これらのハミルトニアン・ベクトル場の時間1フローに対応することを活用する。
• S¹上の無理数回転のエルゴディック性を用いて、各ドゥェン・ツイストの作用がほとんど everywhere でエルゴディックであることを示す。
• 軌道のfoliationに沿った測度の分解を用いて、不変関数が生成されたフロー群のほとんどすべての軌道に沿って定数でなければならないことを示す。
• Corollary 3.4で示される、ツイスト・フローによって生成される群の推移性を応用し、任意の不変可測関数がほとんど everywhere で定数であることを結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 写像類群作用がSU(2)-特徴的多様体にシンプレクティック構造を保存するか？ もしそうなら、どの部分集合でか？
• RQ2 シンプレクティック幾何学とハミルトニアン・フローを用いて、写像類群作用のエルゴディック性を証明できるか？
• RQ3 単純閉曲線のトレース関数が、群作用に関する不変関数の代数を生成する役割を果たすか？
• RQ4 S¹上の無理数回転のエルゴディック性は、特徴的多様体上のドゥェン・ツイスト作用のエルゴディック性とどのように関係するか？
• RQ5 ツイスト・フローによって生成される群の作用は、特徴的多様体の滑らかでシンプレクティックな局所で推移的か？

主な発見

• 写像類群は、SU(2)-特徴的多様体の各連結成分に対して、シンプレクティック測度に関してエルゴディックに作用する。
• 作用は、全測度で連結で、可約表現でない部分集合上にシンプレクティック構造を保存する。
• 単純閉曲線に沿ったドゥェン・ツイストは、トレース関数fαに関連するハミルトニアン・ベクトル場の時間1フローに対応する。
• パンツ分解に沿って関連するトレース関数のハミルトニアン・フローによって生成される群は、滑らかでシンプレクティックな局所で推移的である。
• 任意の可測関数が写像類群全体に関して不変であれば、フロー群の推移性と個々のドゥェン・ツイストのエルゴディック性により、ほとんど everywhere で定数である。
• 証明は、群元のトレースパrameter化を通じて、S¹上の無理数回転のエルゴディック性を応用することで、エルゴディック性を確立する。