[論文レビュー] Ergodicity of regime-switching diffusions in Wasserstein distances

Jinghai Shao|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2014

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、M行列理論とPerron-Frobenius定理を用いて、Wasserstein距離における状態スイッチング型拡散過程の遍歴性のための新基準を確立する。有限状態空間および無限状態空間モデルの両方において、コスト関数が有界でない場合でさえも、指数的収束を示すために、無限状態過程のための有限分割法を導入し、リャプノフ型関数と行列解析を用いてモーメントバウンドを導出する。

ABSTRACT

Based on the theory of M-matrix and Perron-Frobenius theorem, we provide some criteria to justify the convergence of the regime-switching diffusion processes in Wasserstein distances. The cost function we used to define the Wasserstein distance is not necessarily bounded. The continuous time Markov chains with finite and countable state space are all studied. To deal with the countable state space, we put forward a finite partition method. The boundedness for state-dependent regime-switching diffusions in an infinite state space is also studied.

研究の動機と目的

• 状態スイッチング型拡散過程のWasserstein距離における指数的遍歴性の十分条件を確立すること。
• Wasserstein距離フレームワークにおいて、従来の有界コスト関数に制限されていた結果を、無限コスト関数へと拡張すること。
• 標準的手法が失敗する状態依存スイッチングを伴う無限状態空間における課題に対処すること。
• 無限状態空間を扱うために、有限分割法を開発し、モーメントバウンドを導出すること。

提案手法

• Wasserstein距離における収束を分析するために、M行列理論とPerron-Frobenius定理を用いる。
• ドリフト係数の成長率に基づいて、無限状態空間の有限分割を導入する。
• 分割された状態空間上で、遷移率を近似する粗視化されたQ行列 $ Q^F $ を定義する。
• リャプノフ関数 $ \rho(|x|)\xi_\Lambda $ に伊藤の公式を適用する。ここで $ \xi $ はM行列の解から得られる。
• ベクトル $ \xi^F $ が $ (Q^F + \mathrm{diag}(\theta_i^F))H_{m+1}\eta^F \ll 0 $ を満たすことで、モーメントバウンドを確立する。
• 行列 $ -(Q^F + \mathrm{diag}(\theta_i^F))H_{m+1} $ が非特異M行列であるという条件下で、$ \mathbb{E}[\rho(|X_t|)] $ の指数的減衰を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 状態スイッチング型拡散過程が、どのような条件下でその不変測度へWasserstein距離で収束するか。
• RQ2 Wasserstein距離フレームワークにおいて、有界コスト関数から無限コスト関数への遍歴性基準の拡張はどのように可能か。
• RQ3 無限状態領域における状態スイッチング型拡散過程の遍歴性を分析するための技術は何か。
• RQ4 有限分割法は、無限状態スイッチング過程の挙動を効果的に近似できるか。
• RQ5 M行列理論とPerron-Frobenius理論は、Wasserstein距離における指数的収束の証明にどのように寄与するか。

主な発見

• 本稿は、M行列条件を用いて、有限状態空間における状態非依存の状態スイッチング型拡散過程のWasserstein距離における指数的遍歴性を証明する。
• 有界コスト関数に制限されていた従来の結果を、無限コスト関数へと拡張する一般基準を確立する。
• 無限状態空間では、有限分割法により粗視化されたQ行列 $ Q^F $ を構築でき、M行列理論の適用が可能になる。
• 主な結果は、$ -(Q^F + \mathrm{diag}(\theta_i^F))H_{m+1} $ が非特異M行列であるならば、$ \mathbb{E}[\rho(|X_t|)] \leq c_1 \mathbb{E}[\rho(|X_0|)] e^{-\alpha t} + c_2 $ が成り立つことである。この不等式は、モーメントの一様性と遍歴性を示唆する。
• 本手法により、[8]で得られたオンオフ型基準が、より弱い仮定の下で回復され、無限コスト関数を許容する。
• 本結果は、無限状態空間における状態依存スイッチング型拡散過程のモーメント有界性およびWasserstein距離における収束性を検証可能な条件を提供する。