[論文レビュー] Ergodicity of stochastic differential equations with jumps and singular coefficients

Longjie Xie, Xicheng Zhang|arXiv (Cornell University)|May 21, 2017

Stochastic processes and financial applications被引用数 21

ひとこと要約

本稿は、一般の Lévy ノイズによって駆動されるジャンプ付きで特異係数をもつ確率微分方程式（SDE）について、強い適切性、強 Feller性、不可約性、指数的エルゴード性を確立する。著者らは、Krylov の事前推定と Zvonkin の変換に基づく一般的手法を発展させ、特異的かつ発散的である可能性のある漂移項をもつ場合でさえ、解の存在と一意性、およびエルゴード性を証明する。これは、Sobolev 現象における特異係数と大きなジャンプを許容する。

ABSTRACT

We show the strong well-posedness of SDEs driven by general multiplicative Lévy noises with Sobolev diffusion and jump coefficients and integrable drift. Moreover, we also study the strong Feller property, irreducibility as well as the exponential ergodicity of the corresponding semigroup when the coefficients are time-independent and singular dissipative. In particular, the large jump is allowed in the equation. To achieve our main results, we present a general approach for treating the SDEs with jumps and singular coefficients so that one just needs to focus on Krylov's {\it apriori} estimates for SDEs.

研究の動機と目的

• 乗法的 Lévy ノイズ、特異拡散、ジャンプ、可積分な漂移係数をもつ SDE の強い適切性を確立すること。
• 関連するマルコフ半群の強 Feller 性および不可約性を調査すること。
• 特異的かつ発散的漂移項と一般の Lévy ノイズをもつ時不変 SDE における指数的エルゴード性を証明すること。
• ジャンプと特異係数をもつ SDE を取り扱う一般枠組みを構築すること。この枠組みでは、解析を Krylov の事前推定に還元する。
• Lévy ノイズにおける大きなジャンプを許容し、小ジャンプまたは非退化拡散の仮定を超えて結果を拡張すること。

提案手法

• ジャンプと特異係数をもつ SDE の解析を、半マルティンガールの Krylov 型事前推定の導出に還元する一般的手法が開発された。
• Zvonkin の変換が適用され、SDE の正則化が行われ、特異係数が存在する状況でも Krylov の推定が利用可能になる。
• Krylov の事前推定が、ジャンプ成分と特異漂移項をもつ一般の不連続半マルティンガールへと拡張された。
• この手法は、マルコフ性を保ちつつ、ヒートカーネル推定の適用を可能にする適切な変換の構築に依存する。
• 遷移密度を制御するために、放物型積分微分方程式およびその正則性性質が解析に用いられた。
• エルゴード性の証明は、比較推定および遷移密度に関する Hunt 型定理を用いて、ディリクレのヒートカーネルの正の性質を活用した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ジャンプと特異係数をもつ確率微分方程式が、一意な強い解をもつのはどのような条件下か？
• RQ2 特異的で発散的漂移項と一般の Lévy ノイズをもつ SDE について、強 Feller 性および不可約性を確立できるか？
• RQ3 ノイズに大きなジャンプを含む場合でも、特異的かつ発散的漂移項をもつ SDE において、指数的エルゴード性は達成可能か？
• RQ4 Krylov の事前推定は、特異係数をもつ一般の Lévy プロセスによって駆動される SDE へとどのように拡張できるか？
• RQ5 このような SDE に対して、ディリクレのヒートカーネルの正の性質を保証する条件は何か？

主な発見

• Sobolev 空間における特異拡散、可積分な漂移項、乗法的 Lévy ノイズをもつ SDE は、緩い条件下でも一意な強い解をもつ。
• 係数が時不変で特異的かつ発散的である場合、関連するマルコフ半群は強 Feller 性および不可約性をもつ。
• 特異的で発散的漂移項をもつ SDE について、Lévy ノイズに大きなジャンプが含まれる場合でも、指数的エルゴード性が確立された。
• 不変測度は存在し、$ L^q({\mathbb{R}}^d) $ に属する密度をもつ。ここで $ q < d/(d - \alpha + 1) $ であり、$ \alpha $ は特異漂移項の指数である。
• 任意の領域 $ D \subset \mathbb{R}^d $ に対して、ディリクルのヒートカーネルは $ (0,\infty) \times D \times D $ で正の値をとり、不可約性が保証される。
• 主な結果は、問題を Krylov の事前推定に還元し、SDE の正則化に Zvonkin の変換を適用することで達成された。