[論文レビュー] Ergodicity of the 2D Navier-Stokes Equations with Degenerate Stochastic Forcing

Martin Hairer, Jonathan C. Mattingly|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2004

Stochastic processes and financial applications参考文献 27被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、漸近的強いFeller性および近似的な部分積分公式を導入することで、非一様な確率的摂動を受ける2次元ナビエ＝ストークス方程式のエルゴード性を確立した。エルゴード性は、粘性度およびノイズ強度とは無関係なホルマンダー型条件のもとで成立し、ノイズが4つのフーリエモードでのみ作用する場合でも、一意な不変測度を保証するノイズ支持の幾何的特徴付けを提供する。

ABSTRACT

The stochastic 2D Navier-Stokes equations on the torus driven by degenerate noise are studied. We characterize the smallest closed invariant subspace for this model and show that the dynamics restricted to that subspace is ergodic. In particular, our results yield a purely geometric characterization of a class of noises for which the equation is ergodic in $Ł^2_0(\TT^2)$. Unlike previous works, this class is independent of the viscosity and the strength of the noise. The two main tools of our analysis are the extit{asymptotic strong Feller} property, introduced in this work, and an approximate integration by parts formula. The first, when combined with a weak type of irreducibility, is shown to ensure that the dynamics is ergodic. The second is used to show that the first holds under a H{ö}rmander-type condition. This requires some interesting nonadapted stochastic analysis.

研究の動機と目的

• ノイズが有限個のフーリエモードでのみ作用する非一様な確率的摂動を受ける2次元ナビエ＝ストークス方程式のエルゴード性を確立すること。
• 粘性度およびノイズ強度とは無関係に、動的システムがエルゴードとなる最小の閉じた不変部分空間を特定すること。
• 非適応的設定におけるギルサノフの定理の代わりに、非定常な確率的偏微分方程式（SPDE）のための新しい解析的枠組みを構築すること。
• 漸近的強いFeller性と弱い再起的性の組み合わせが、無限次元確率的系においてエルゴード性を示すことを示すこと。
• 非退化ノイズが不安定モードに作用しない場合でも、エルゴード性を保証するための、ノイズ支持に関する鋭い幾何的条件（ホルマンダー型条件）を提供すること。

提案手法

• 非一様で擬微分型のSPDEにおいて、強いFeller性の代わりに漸近的強いFeller性を導入する。
• ノイズ支持にホルマンダー型条件が成り立つ場合に、漸近的強いFeller性が成り立つことを、近似的な部分積分公式を用いて証明する。
• ハイ・ロー・モード分割を用いて、動的システムを遅い（ロー）モードと速い（ハイ）モードに分離し、非線形相互作用を制御可能にする。
• 非適応的確率解析を用いて、無限次元設定におけるマリヤン・微積分を扱い、部分積分公式の導出に不可欠な要素を提供する。
• ジャコビアンの事前評価および補間不等式を用いて、高周波数モードにおける解の成長を制御する。
• マリヤン行列の正則性に関する[MP06]の結果を活用し、非適応的文脈における部分積分の議論を支援する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ノイズが有限個のフーリエモードでのみ作用する場合でも、2次元ナビエ＝ストークス方程式がエルゴード的であるための、ノイズ支持に関する幾何的条件は何か？
• RQ2 非一様ノイズを受ける無限次元SPDEにおいて、漸近的強いFeller性を確立し、それを用いてエルゴード性を証明することは可能か？
• RQ3 非適応的無限次元設定において、ギルサノフの定理に代わる新しい部分積分公式を用いて、代替的枠組みを構築することは可能か？
• RQ4 ノイズがホルマンダー型条件を満たす場合、2次元ナビエ＝ストークス方程式のエルゴード性は、粘性度やノイズ強度に依存するか？
• RQ5 動的システムがエルゴード的となる最小の閉じた不変部分空間は何か？ そして、それはどのように幾何的に特徴付けられるか？

主な発見

• ノイズがホルマンダー型条件を満たす限り、最小閉じた不変部分空間に制限された動的システムは、粘性度やノイズ強度とは無関係にエルゴード的である。
• ノイズが4つのフーリエモードでのみ作用する場合でも、エルゴード性が達成され、ノイズ支持に関する鋭い幾何的条件が得られる。
• 漸近的強いFeller性と弱い再起的性の組み合わせにより、無限次元系のエルゴード性が保証される。
• 近似的な部分積分公式が構築され、ホルマンダー型条件のもとで漸近的強いFeller性が検証可能である。
• 不変測度は一意的であり、方程式の並進不変性から、並進不変性を示す。
• 本フレームワークのもとで、ノイズ支持に関する幾何的条件がエルゴード性に必要不可欠であることが示され、結果は鋭い。