[論文レビュー] Erland Samuel Bring's "Transformation of Algebraic Equations"

Alexander Chen, Yang‐Hui He+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2017

History and Theory of Mathematics被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、1786年にエルラン・サミュエル・ブリングが著した代数方程式変換に関するラテン語論文を翻訳・分析し、彼がツィルンハウス変換を用いて一般五次方程式をブリング＝ジャーラード形式 $x^5 + px + q = 0$ にまで簡約したプロセスを明らかにしている。この過程で彼は、三乗方程式のみを解くことでその達成を果たした。主な貢献は、後に $S_5$ 対称性を持つ genus 4 曲線として認識される、$
bb{P}^4$ 内の完全交差としてのブリング曲線の初期発見にある。この曲線は、楕円関数およびモジュラー関数を用いた五次方程式の解法の基盤をなすものである。

ABSTRACT

We translate Erland Samuel Bring's treatise Meletemata quaedam Mathematica circa Transformationem Aequationum Alebraicarum (Some selected mathematics on the Transformation of Algebraic Equations) written as his Promotionschrift at the University of Lund in 1786, from its Latin into English, with modern mathematical notation. Bring (1736 - 98) made important contributions to algebraic equations and obtained the canonical form x^5+px+q = 0 for quintics before Jerrard, Ruffini and Abel. In due course, he realized the significance of the projective curve which now bears his name: the complete intersection of the homogeneous Fermat polynomials of degrees 1,2,3 in CP^4.

研究の動機と目的

• 1786年にエーランド・サミュエル・ブリングが著した代数方程式変換に関するオリジナルのラテン語論文を、現代の英語および現代の数学的表記に翻訳・文脈化すること。
• ブリングが、ジャーラードやラフィニ、アーベルより以前に、三乗の補助方程式のみを用いて一般五次方程式を三項式形式 $x^5 + px + q = 0$ に簡約したという、彼の先駆的業績を強調すること。
• $\mathbb{P}^4$ 内で $\sum z_i = \sum z_i^2 = \sum z_i^3 = 0$ で定義される代数的曲線が、現在「ブリングの曲線」として知られる、モジュライ空間としてのブリング＝ジャーラード五次方程式の役割を確立すること。
• 18世紀の代数の限界にもかかわらず、代数的変換によって任意の方程式を解ける形に変形できる可能性があるという、ブリングが見過ごされたが極めて深い洞察を回復・強調すること。

提案手法

• 一般五次方程式 $x^5 + ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0$ における中間項を消去するために、四次補助方程式を用いて新しい変数を導入するツィルンハウス変換を適用する。
• 対称多項式とビエトの定理を用いて、初等対称和 $\sum z_i = \sum z_i z_j = \sum z_i z_j z_k = 0$ の消滅を表現し、条件 $\sum z_i = \sum z_i^2 = \sum z_i^3 = 0$ に到達する。
• 補助四次方程式の係数 $a, b, c, d$ を求めるために、方程式系 (D, E, F) を導出し、変換された五次方程式における第二、第三、第四項の消去を実行する。
• 係数方程式系に $a = \frac{3pd + 4q}{5}$ を代入することで、$\gamma$ および $\zeta$ に関する二次方程式に還元され、高次根を用いずに解けるようになる。
• 変数 $b = \alpha d + \zeta$、$c = d + \gamma$ の置換を導入することで、方程式系を解ける二次方程式に簡約し、第三項の消去を可能にする。
• 最後に、第四項を消去するため、$d$ を三乗方程式の根として解くことで、ブリング＝ジャーラード形式への完全な簡約を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エルラン・サミュエル・ブリングは、三乗の補助方程式のみを用いて、一般五次方程式をどうやって三項式形式 $x^5 + px + q = 0$ に簡約したのか？
• RQ2 $\mathbb{P}^4$ 内で $\sum z_i = \sum z_i^2 = \sum z_i^3 = 0$ で定義される曲線の代数的・幾何学的意義は何か？なぜそれが今やブリングの曲線と呼ばれるのか？
• RQ3 なぜブリングの研究は長きにわたり見過ごされてきたのか？また、ガロア理論やモジュラー関数の分野における後続の発展を予見していたとはどのような意味か？
• RQ4 ツィルンハウス変換は、三乗より高い次数の代数方程式を解かずに、五次方程式における複数の途中項をどのようにして消去できるのか？
• RQ5 対称群 $S_5$ はブリングの曲線の構造において果たす役割は何か？なぜこれは genus 4 曲線に対して最大の可能な自己同型群なのであろうか？

主な発見

• ブリングは、三乗の補助方程式のみを用いて、ジャーラード やアーベルより100年以上も前から一般五次方程式をブリング＝ジャーラード形式 $x^5 + px + q = 0$ に簡約した。
• $\mathbb{P}^4$ 内で $\sum z_i = \sum z_i^2 = \sum z_i^3 = 0$ で定義される曲線は、genus 4 の完全交差であり、現在「ブリングの曲線」として知られている。その自己同型群は $S_5$ である。
• 五次方程式の根の対称和が変換のもとで消えることにより、$\sum z_i = \sum z_i^2 = \sum z_i^3 = 0$ という条件が得られ、これが曲線を定義する。
• 第三の項を消去するには、二次方程式と三乗方程式を解くことで実現され、ブリング＝ジャーラード形式が代数的変換のみで達成可能であることが証明された。
• 第IV節におけるブリングの楽観的予測――任意の代数的方程式が変換によって解ける可能性がある――は、後にエルンストとクラインの研究によって、五次方程式とモジュラー関数との深い関係が確認されたことから、的を射たものであった。
• 本論文は、ブリングの業績が当初は学生のものと誤認されたが、代数方程式理論およびモジュライ空間の幾何学的構造の基盤をなすものであったことを確立している。