[論文レビュー] Ermakov-Lewis Invariants of the Gross-Pitaevskii Equation

Antônio B. Nassar, Alencar, P. T. S.+3 more|ArXiv.org|Feb 18, 2009

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、時間に依存する調和振動子ポテンシャルを有する1次元グロス＝ピタエフスキー方程式に対するエルマコフ＝ルイス不変量を検討する。マデルング＝ボーム流体的分解を用い、ガウス型波パッケージのアンザッツを仮定することで、波パッケージの中心および幅の運動方程式を導出する。主な発見は、非線形グロス＝ピタエフスキーポテンシャルが線形時間に依存する調和振動子における不変性を破るため、エルマコフ＝ルイス不変量は保存されないということである。

ABSTRACT

In this work we study the Ermakov-Lewis invariants of the non-linear Gross-Pitaeviskii equation

研究の動機と目的

• 非線形グロス＝ピタエフスキー方程式に時間に依存する調和振動子ポテンシャルが存在する場合に、エルマコフ＝ルイス不変量が存在するかどうかを特定すること。
• 元来線形時間に依存する調和振動子に対して開発されたエルマコフ＝ルイス理論を、グロス＝ピタエフスキー方程式によって記述される非線形量子系へと拡張すること。
• 非線形項（グロス＝ピタエフスキーポテンシャル）がエルマコフ＝ルイス不変量の保存をどのように破るかを分析すること。
• ガウス型波パッケージの中心および幅の動的方程式を導出すること。
• エルマコフ＝ルイス不変量が保存される条件を検討し、非線形性が引き起こす障害を同定すること。

提案手法

• 波動関数を ψ(x,t) = φ(x,t) e^{iS(x,t)} と表現するマデルング＝ボーム変換を用い、グロス＝ピタエフスキー方程式を連続の式および量子ハミルトニアン＝ヤコビ方程式に分解する。
• 正規化されたガウス型波パッケージの初期条件を仮定：ρ(x,0) = [πσ(0)]^{-1/2} exp(−(x−q(0))²/σ(0)) により、波パッケージの時間発展をモデル化する。
• 量子ハミルトニアン＝ヤコビ方程式における有効力とエルマコフ型ダイナミクスを一致させることで、波パッケージ幅 σ(t) および中心 q(t) の時間発展を導出する。
• σ(t) = (ħ/m)α²(t) を用いて新たな変数 α(t) を導入し、σ(t) の非線形方程式をエルマコフ方程式に類似した形に変換する。
• 不変量 I = ½[(ȧq − ȧα)² + (q/α)²] を用いて保存性を分析し、その時間微分を導出して不変性を評価する。
• 有効ポテンシャル内に存在する非線形項 g|m|ρ が、I の時間微分を非ゼロにすることを示し、保存則が破られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間に依存する調和振動子ポテンシャルを有する非線形グロス＝ピタエフスキー方程式において、エルマコフ＝ルイス不変量は保存されるか？
• RQ2 非線形グロス＝ピタエフスキーポテンシャルは、線形時間に依存する調和振動子と比較して、波パッケージの中心および幅のダイナミクスにどのように影響を与えるか？
• RQ3 エルマコフ＝ルイス形式主義は非線形ケースに一般化可能か？ もしそうなら、どのような条件下で可能か？
• RQ4 非線形項が存在する状況下で、エルマコフ＝ルイス不変量 I の明示的な時間発展はどのように表されるか？
• RQ5 プランク定数 ħ は、量子エルマコフ方程式とその古典的対応物を区別する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 非線形グロス＝ピタエフスキー方程式において、非線形ポテンシャル項の影響により、エルマコフ＝ルイス不変量 I は保存されない。
• 不変量の時間微分は dI/dt = [2gq/(ħ√(πħ/m))] × d/dt(q/α) で与えられ、これは非ゼロであり、明示的な時間依存性を示している。
• 幅パラメータ α(t) の運動方程式は ẍα + ω²(t)α + 2g/(ħα²√(πħ/m)) = 1/α³ の形を取り、非線形項が g に比例する点を除き、古典的エルマコフ方程式と異なる。
• 波パッケージ幅 σ(t) は σ(t) = (ħ/m)α²(t) に従い、量子的および非線形補正を含む修正されたエルマコフ方程式に従って進化する。
• エルマコフ＝ルイス不変量の保存は、特定に非線形項 g|m|ρ によって破られる。この項が I の時間微分に源項をもたらす。
• 解析により、グロス＝ピタエフスキー方程式における非線形性が、エルマコフ＝ルイス不変量の保存を妨げることを確認した。線形 TDHO の場合にこのような不変量が存在するのとは対照的に、非線形系ではそのような保存量は存在しない。