[論文レビュー] Erratum to "The Homogeneous Coordinate Ring of a Toric Variety", along with the original paper

David A. Cox|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 1992

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 2被引用数 29

ひとこと要約

この論文は、1995年コックスの論文における特異的トーリック多様体の斉次座標環に関する命題4.3の証明における重大な誤りを是正する。是正により、完全トーリック多様体のコックス環 $S$ の次数付き自己同型群 $Γ_{g}(S)$ が、単連結なアフィン代数群であり、可解部分群と再帰的部分群の半直積に同型であることが示され、明示的な次元公式と最大トーラス構造が得られる。

ABSTRACT

This submission consists of two papers: 1) an erratum that corrects an error in the proof of Proposition 4.3 in my paper "The Homogeneous Coordinate Ring of a Toric Variety", and 2) the original (unchanged) version of the paper, published in 1995. The original paper introduced the homogeneous coordinate ring of a toric variety (now called the total coordinate ring or Cox ring) and gave a quotient construction. The paper also studied sheaves on a toric variety, and in Section 4 described its automorphism group. The error in the proof of Proposition 4.3 resulted from the faulty assumption that a certain set of graded endomorphisms forms a ring; rather, it is a monoid under composition. The erratum notes this error and gives a correct proof of the proposition.

研究の動機と目的

• トーリック多様体の斉次座標環の次数付き自己同型群に関して、1995年コックスの論文における命題4.3の根本的な誤りを是正すること。
• コックス環 $S$ の次数付き自己同型群 $Γ_{g}(S)$ が、アフィン代数群として連結であることを確立し、かつ元々誤って $Γ_{g}(S)$ が $\mathbb{C}$-代数であると仮定していたのを是正すること。
• $Γ_{g}(S)$ が $R_u \rtimes G_s$ に同型であることを証明すること。ここで $R_u$ は単純根部分群、$G_s$ は再帰的部分群である。
• $Γ_{g}(S)$、$R_u$、$G_s$ の次元公式を検証し、$(\mathbb{C}^*)^{\Delta(1)}$ が $Γ_{g}(S)$ 内に最大トーラスであることを確認すること。

提案手法

• 元の証明における $Γ_{g}(S)$ が $\mathbb{C}$-代数であるという誤った仮定を、線形代数的モノイドとしての正しい構造に置き換えることで、命題4.3の証明を再構築する。
• 標準的分解 $S_i = S_i' \oplus S_i''$ を用いて、$Γ_{g}(S)$ の要素をブロック行列 $\begin{pmatrix} A_i & 0 \\ B_i & C_i \end{pmatrix}$ として表現する。ここで $A_i$ は $S_i'$ に作用し、$B_i$ は $S_i'$ に作用し、$C_i$ は $S_i''$ に作用する。
• $Γ_{g}(S)$ が $\prod_{i=1}^s \mathrm{End}_{\mathbb{C}}(S_i)$ 内の多項式方程式によって定義されることを示し、これは $x^D \in S_i''$ である単項式に対して $\phi(x^D) \in S_i''$ であるという要件から導かれる。この要件により、$C_i$ の成分と $j \neq i$ の $A_j, B_j$ の成分が関連づけられる。
• 方程式 (e4) の行列合成則を用いて、$\phi \in \u0393_{g}(S)$ が可逆であることと、すべての $i$ に対して $A_i$ と $C_i$ が可逆であることとが同値であることを証明する。
• 単位行列を $A_i$ および $C_i$ に持つ行列からなる単純根部分群 $1 + \mathcal{N}$ を定義し、全次数順序の下で $C_i$ が対角成分が1の下三角行列であることを示し、したがって単純根的であることを示す。
• 正確な列 $1 \to 1 + \mathcal{N} \to \u0393_{g}(S) \to \prod_{i=1}^s \mathrm{GL}(S_i') \to 1$ を構成し、$1 + \mathcal{N}$ が正規であり、$\u0393_{g}(S)$ がセクション $s^*$ を通じて半直積として得られることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全トーリック多様体のコックス環 $S$ の次数付き自己同型群 $\u0393_{g}(S)$ の正しい代数的構造は何か？
• RQ2 元の命題4.3の証明がなぜ誤りであるのか。また、$\u0393_{g}(S)$ が代数群であることを正しく確立するにはどうすればよいか？
• RQ3 $\u0393_{g}(S)$ の単純根部分群 $R_u$ はどのように特徴づけられ、アフィン多様体としての次元は何か？
• RQ4 再帰的部分群 $G_s \cong \prod_{i=1}^s \mathrm{GL}(S_i')$ は $\u0393_{g}(S)$ の閉部分群であるか。また、最大トーラス $(\mathbb{C}^*)^{\Delta(1)}$ とはどのように関係するか？
• RQ5 正確な列 $1 \to 1 + \mathcal{N} \to \u0393_{g}(S) \to \prod_{i=1}^s \mathrm{GL}(S_i') \to 1$ は成立するか。また、これは $\u0393_{g}(S)$ の群構造にどのような意味を持つのか？

主な発見

• $Γ_{g}(S)$ である次数付き自己同型群は、アフィン代数群として連結である。これは、元々誤って $Γ_{g}(S)$ が $\mathbb{C}$-代数であるとされたという誤った主張を是正したものである。
• $Γ_{g}(S)$ の単純根部分群 $R_u$ は、多様体としてアフィン空間に同型であり、次元は $\sum_{i=1}^s |\Delta_i|(\mathrm{dim}_{\mathbb{C}} S_{\alpha_i} - |\Delta_i|)$ に等しい。
• 再帰的部分群 $G_s \subset \u0393_{g}(S)$ は $\prod_{i=1}^s \mathrm{GL}(S_{\alpha_i}')$ に同型であり、次元は $\sum_{i=1}^s |\Delta_i|^2$ に等しく、$(\mathbb{C}^*)^{\Delta(1)} \subset G_s$ が成り立つ。
• 自己同型群 $\u0393_{g}(S)$ は半直積 $R_u \rtimes G_s$ に同型であり、$R_u$ は正規であり、$G_s$ はレヴィ部分群である。
• 正確な列 $1 \to 1 + \mathcal{N} \to \u0393_{g}(S) \to \prod_{i=1}^s \mathrm{GL}(S_i') \to 1$ は正確であり、$1 + \mathcal{N}$ は単純根的であり、多様体として $\mathcal{N}$ に同型である。
• $\u0393_{g}(S)$ の次元は $\sum_{i=1}^s |\Delta_i| \cdot \mathrm{dim}_{\mathbb{C}} S_{\alpha_i}$ に等しく、元の主張と一致するが、今や正しく導出されたものである。