[論文レビュー] Error analysis for quadratic spline quasi-interpolants on non-uniform criss-cross triangulations of bounded rectangular domains

Catterina Dagnino, Paul Sablonnière|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2006

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、有界な長方形領域の非一様なクロス・トライアングルレーションにおける2つの$C^1$2次スプライン準補間関数$S_2$および$W_2^*$についての誤差解析を提示する。この手法は、定義域内に完全に含まれるサポートを持つBスプラインと境界上に配置されたデータ点を用い、メッシュの細分化に依存しない小さな無限大ノルムを保証する。主な貢献は、関数、1階微分、2階微分の近似に対して鋭い誤差境界を導出し、滑らかさとメッシュ比の条件下で最適な収束率を達成することにある。

ABSTRACT

Given a non-uniform criss-cross partition of a rectangular domain $Ω$, we analyse the error between a function $f$ defined on $Ω$ and two types of $C^1$-quadratic spline quasi-interpolants (QIs) obtained as linear combinations of B-splines with discrete functionals as coefficients. The main novelties are the facts that supports of B-splines are contained in $Ω$ and that data sites also lie inside or on the boundary of $Ω$. Moreover, the infinity norms of these QIs are small and do not depend on the triangulation: as the two QIs are exact on quadratic polynomials, they give the optimal approximation order for smooth functions. Our analysis is done for $f$ and its partial derivatives of the first and second orders and a particular effort has been made in order to give the best possible error bounds in terms of the smoothness of $f$ and of the mesh ratios of the triangulation.

研究の動機と目的

• 有界な長方形領域の非一様なクロス・トライアングルレーションにおける$C^1$2次スプライン準補間関数の近似誤差を解析すること。
• Bスプラインのサポートとデータ点を定義域内に限定し、境界を越えた外挿を回避すること。
• 滑らかさと局所的メッシュ比を用いて、関数およびその1階・2階偏微分の近似誤差に対する鋭い誤差境界を導出すること。
• 準補間関数の無限大ノルムがメッシュの細分化に依存せず一様に有界であることを保証すること。
• 滑らかな関数に対して最適な近似次数を確立し、準均一メッシュ条件の下での収束性を示すこと。

提案手法

• 準補間関数$S_2$および$W_2^*$は、関数値から導かれる離散的係数関数型を用いた$C^1$2次Bスプラインの線形結合として構築される。
• Bスプラインは、領域$\Omega=[a,b]\times[c,d]$の非一様分割における各部分長方形に両対角線を引いたクロス・トライアングルレーション上に定義される。
• 内部のBスプラインにはベルンシュタイン・ベジエ係数が用いられ、定義域$\Omega$に完全に含まれるサポートを持つ境界上のBスプラインを用いることで、外部データの必要性を回避する。
• 誤差推定には滑らかさのモジュラスとBスプラインの微分に関する境界を用い、2次Bスプラインに関する先行研究の性質を活用する。
• 主な不等式には、誤差を補間誤差と準補間誤差に分解し、係数関数型とBスプライン微分の境界を評価する手法が含まれる。
• 局所的メッシュ比$h/\delta$（$h$は最大ステップサイズ、$\delta$は最小）を考慮することで、誤差境界を精緻化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数$f \in C^2(\Omega)$に対して、$S_2$および$W_2^*$準補間関数の近似誤差は、関数値と微分の観点からどのように評価できるか？
• RQ2 準補間関数の無限大ノルムはメッシュの細分化にどのように依存し、一様に有界にできるか？
• RQ3 準均一メッシュの細分化条件下で、準補間関数およびその微分の収束速度はどのようになるか？
• RQ4 誤差境界は関数$f$の滑らかさおよび局所的メッシュ比$h/\delta$にどのように依存するか？
• RQ5 特に三角形セルの内部において、1階および2階微分のための鋭い誤差境界を導出できるか？

主な発見

• 関数$f \in C^2(\Omega)$に対して、関数近似の誤差は$\|f - Q\|_{\infty} \leq \left[1 + \bar{C}_2 (h/\delta)\right] h \omega(D^2f, h/2)$を満たし、$S_2$では$\bar{C}_2 \leq 122$、$W_2^*$では$\bar{C}_2 \leq 65$である。
• 関数$f \in C^3(\Omega)$に対して、1階微分の誤差は$\|D^\alpha f - D^\alpha Q\|_{\infty} \leq \bar{C}_3 (h/\delta) h^2 \|D^3f\|$を満たし、$S_2$では$\bar{C}_3 \leq 269/12 \approx 22.4$、$W_2^*$では$\bar{C}_3 \leq 65/6 \approx 10.8$である。
• 三角形セル内部における2階微分の誤差は$\|D^\alpha f - D^\alpha Q\|_{\text{int}(T)} \leq \left[1 + D_2 (h/\delta)^2\right] \omega(D^2f, h/2)$を満たし、$S_2$では$D_2 \leq 183$、$W_2^*$では$D_2 \leq 195/2 = 97.5$である。
• 関数$f \in C^3(\Omega)$に対して、2階微分の誤差は$\|D^\alpha f - D^\alpha Q\|_{\text{int}(T)} \leq \left[1 + D_3 (h/\delta)^2\right] h \|D^3f\|$を満たし、$S_2$では$D_3 \leq 269/8 \approx 33.6$、$W_2^*$では$D_3 \leq 65/4 = 16.25$である。
• $\gamma$-準均一分割の下では、準補間関数は$f$およびその1階微分に関して$L^\infty(\Omega)$で収束し、各三角形の内部で2階微分に対しても収束する。収束率は$s=1,2$に対して$O(h^{s-1} \omega(D^s f, h/2))$で最適である。
• 準補間関数の無限大ノルムは一様に有界であり、メッシュの細分化に依存しない。これは大規模問題において顕著な実用的利点である。