[論文レビュー] Error Analysis of Finite Element Methods for Space-Fractional Parabolic Equations

Bangti Jin, Raytcho Lazarov+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2013

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 17被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、Riemann-Liouville微分係数の次数 $\alpha \in (1,2)$ を持つ1次元空間分数拡散放物型方程式に有限要素法を適用した場合の厳密な誤差解析を提示する。分岐線形形状関数と後退オイラー／クランクニコルソン時間離散化を用いたガレルキン有限要素法を用い、$L^2(D)$ および $\widetilde{H}^{\alpha/2}(D)$ 範囲における最適収束率を導出し、初期データの正則性に明示的に依存する境界を得ており、滑らかでない場合を含む両ケースをカバーする。

ABSTRACT

We consider an initial/boundary value problem for one-dimensional fractional-order parabolic equations with a space fractional derivative of Riemann-Liouville type and order $α\in (1,2)$. We study a spatial semidiscrete scheme with the standard Galerkin finite element method with piecewise linear finite elements, as well as fully discrete schemes based on the backward Euler method and Crank-Nicolson method. Error estimates in the $L^2\II$- and $H^{α/2}\II$-norm are derived for the semidiscrete scheme, and in the $L^2\II$-norm for the fully discrete schemes. These estimates are for both smooth and nonsmooth initial data, and are expressed directly in terms of the smoothness of the initial data. Extensive numerical results are presented to illustrate the theoretical results.

研究の動機と目的

• 空間分数拡散放物型方程式（$\alpha \in (1,2)$）に対する空間半離散および完全離散有限要素スキームの事前誤差推定を確立すること。
• 滑らかでない初期データ条件下でのガレルキン有限要素法の収束挙動を分析すること。
• 初期データの正則性に基づいて直接的に誤差境界を導出し、特に $l=0,1$ の場合の作用素 $A^l v$ を用いること。
• 広範な数値実験を通じて理論的結果の妥当性を検証すること。

提案手法

• 均等メッシュ上での分岐線形要素を用いた標準ガレルキン有限要素法により、空間半離散スキームを定式化する。
• 時間積分には後退オイラー法およびクランクニコルソン法を用いた完全離散スキームを構築する。
• 解の正則性および誤差伝播を分析するために、解析的半群理論を用いる。
• 変分式は分数的ソボレフ空間 $\widetilde{H}^{\alpha/2}(D)$ および関連する双線形形式 $A(\cdot,\cdot)$ に基づく。
• エネルギー法および双対性議論を用いて誤差推定を導出し、離散射影の強制性および安定性を活用する。
• 半離散解の時間発展を特徴付けるために、離散半群 $E_h(t)$ を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかでない初期データを有する空間分数拡散放物型方程式に対する半離散有限要素法の収束速度は何か？
• RQ2 初期データ $v$ の正則性が $L^2(D)$ および $\widetilde{H}^{\alpha/2}(D)$ 範囲において誤差境界にどのように影響するか？
• RQ3 後退オイラーおよびクランクニコルソン時間積分を用いた完全離散スキームにおいて、$L^2(D)$-範囲で最適収束率が達成可能か？
• RQ4 $v$ が滑らかでない場合に、誤差を定量化する際の作用素 $A^l v$ の役割は何か？
• RQ5 理論的誤差推定は実際の数値結果とどのように一致するか？

主な発見

• 半離散有限要素解は、$\beta \in [0,1/2)$ および $l=0,1$ の条件下で、誤差境界 $\|u_h(t)-u(t)\|_{L^2(D)} + h^{\alpha/2 - 1 + \beta}\|u_h(t)-u(t)\|_{\widetilde{H}^{\alpha/2}(D)} \leq C h^{\alpha - 2 + 2\beta} t^{l-1} \|A^l v\|_{L^2(D)}$ を満たす。
• 後退オイラー完全離散スキームでは、$L^2(D)$-範囲における誤差は $C(h^{\alpha - 2 + 2\beta} + \tau) t^{l-1} \|A^l v\|_{L^2(D)}$ で抑えられる。
• クランクニコルソン完全離散スキームでは、$L^2(D)$-範囲における誤差は $C(h^{\alpha - 2 + 2\beta} + \tau^2 t_n^{-1}) t^{l-1} \|A^l v\|_{L^2(D)}$ で抑えられる。
• 解は強化された正則性を示す：$v \in L^2(D)$ のとき、$u \in C((0,T]; \widetilde{H}_L^{\alpha - 1 + \beta}(D))$ が $\beta \in [0,1/2)$ に対して成り立つ。
• 誤差推定は滑らかでない初期データを含む両ケースに有効であり、$\|A^l v\|_{L^2(D)}$ に明示的に依存する。
• 数値結果は理論的収束率を確認しており、$\alpha \in (1,2)$ の場合に $h$ に関して最適の次数が達成されている。