[論文レビュー] Error analysis of the SAV-MAC scheme for the Navier-Stokes equations

Xiaoli Li, Jie Shen|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2019

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 23被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、非線形項を明示的に取り扱いながらも無条件エネルギー安定性を維持する、ナビエ＝ストークス方程式のための新しいSAV-MACスキームを提案する。スカラー補助変数（SAV）法とマーカー・アンド・セル（MAC）有限差分法を組み合わせることで、時間および空間において2次精度を達成し、ブートストラップ法と繊細な離散推定を用いた厳密な誤差解析により、速度および圧力の最適収束率が証明される。

ABSTRACT

An efficient numerical scheme based on the scalar auxiliary variable (SAV) and marker and cell scheme (MAC) is constructed for the Navier-Stokes equations. A particular feature of the scheme is that the nonlinear term is treated explicitly while being unconditionally energy stable. A rigorous error analysis is carried out to show that both velocity and pressure approximations are second-order accurate in time and space. Numerical experiments are presented to verify the theoretical results.

研究の動機と目的

• ナビエ＝ストークス方程式に対して、スカラー補助変数（SAV）法とマーカー・アンド・セル（MAC）有限差分法を組み合わせた完全離散型SAV-MACスキームを構築すること。
• 非線形項を明示的に取り扱うにもかかわらず、提案されたSAV-MACスキームの無条件エネルギー安定性を確立すること。
• 速度および圧力の近似について、時間および空間において2次収束を示す厳密な誤差解析を実施すること。
• 補助変数に対する非線形代数方程式を解く課題を克服し、少なくとも1つの解が正確な解に収束することを証明すること。
• SAVフレームワークの適用範囲を、証明可能な2次精度および安定性を備えたナビエ＝ストークス方程式へと拡張すること。

提案手法

• SAV-MACスキームは、スカラー補助変数（SAV）アプローチを用いてナビエ＝ストークス方程式を再定式化し、非線形項を明示的に取り扱いながらもエネルギー安定性を保持する。
• 空間離散化は、マーカー・アンド・セル（MAC）有限差分法を用いて実施され、離散的非圧縮性を保証し、質量、運動量、運動エネルギーを保存する。
• 各時間ステップにおいて、定数係数を持つ2つの一般化されたストークス問題を標準的なMAC技術で解き、さらに補助変数のための2次代数方程式を解く。
• 非線形補助変数方程式の取り扱いに際し、数値解の均一な$L^∞$バインディングを確立するためのブートストラップ法が用いられる。
• 離散インフラ・サブ（LBB）条件を用いて、速度および圧力の両方の離散$L^2$ノルムにおける最適誤差推定を導出する。
• 非線形項を制御し、2次収束を達成するために、繊細な離散エネルギー推定と和分部分積分技術の連続的適用が行われる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ナビエ＝ストークス方程式において、非線形項を明示的に取り扱いながらも無条件エネルギー安定性を維持する完全離散型SAV-MACスキームを構築できるか？
• RQ2 速度および圧力の近似について、時間および空間におけるSAV-MACスキームの最適収束率は何か？
• RQ3 補助変数のための非線形代数方程式をどのように解析すれば、正確な解への収束を保証できるか？
• RQ4 非線形項が明示的であるという特徴と非線形補助変数の存在に起因する非標準的手法を用いて、速度および圧力の2次誤差推定を厳密に証明できるか？
• RQ5 提案されたスキームは、MAC法の離散的非圧縮性制約および質量・運動量保存性を保持するか？

主な発見

• 速度および圧力の近似について、厳密な誤差推定により、時間および空間において2次精度が達成されていることが証明された。
• 非線形項を明示的に取り扱うにもかかわらず、無条件エネルギー安定性を有する。これは、標準的な明示スキームに比べて顕著な利点である。
• ブートストラップ法を用いて、数値解の均一な$L^∞$バインディングが確立され、誤差解析における非線形項の制御が可能になった。
• 補助変数の2次代数方程式について、少なくとも1つの解が正確な解に収束することが証明され、解の一意性に関する主要な懸念が解決された。
• 速度および圧力の離散$L^2$誤差推定は最適であり、ストークス方程式に対する既知の最良結果と一致する。この結果は非線形ナビエ＝ストークス方程式へと拡張された。
• 本研究は、ナビエ＝ストークス方程式に対して、無条件エネルギー安定性を有し、2次精度で完全に明示的なスキームの、初めての厳密な誤差解析を提供する。