[論文レビュー] Error Bounds for Parametric Polynomial Systems with Applications to Higher-Order Stability Analysis and Convergence Rates

G. Li, Boris S. Mordukhovich+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 12, 2015

Optimization and Variational Analysis参考文献 24被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、変動する無限のパラメータ集合を有するパラメトリック多項式系に対して、変分解析および半代数幾何学の道具を用いて、明示的な高階（ホルダー型）誤差評価を確立する。これは、一般化されたリョーダン・グレディエント不等式を、多項式系に由来する上界関数（supremum marginal functions）に拡張し、多項式データのもとで最適化アルゴリズムおよび部分勾配ダイナミカルシステムの明示的で計算可能な収束速度を導出する。応用は、一般化された半無限プログラムおよび2次錐プログラミングに及ぶ。

ABSTRACT

The paper addresses parametric inequality systems described by polynomial functions in finite dimensions, where state-dependent infinite parameter sets are given by finitely many polynomial inequalities and equalities. Such systems can be viewed, in particular, as solution sets to problems of generalized semi-infinite programming with polynomial data. Exploiting the imposed polynomial structure together with powerful tools of variational analysis and semialgebraic geometry, we establish a far-going extension of the Łojasiewicz gradient inequality to the general nonsmooth class of supremum marginal functions as well as higher-order (Hölder type) local error bounds results with explicitly calculated exponents. The obtained results are applied to higher-order quantitative stability analysis for various classes of optimization problems including generalized semi-infinite programming with polynomial data, optimization of real polynomials under polynomial matrix inequality constraints, and polynomial second-order cone programming. Other applications provide explicit convergence rate estimates for the cyclic projection algorithm to find common points of convex sets described by matrix polynomial inequalities and for the asymptotic convergence of trajectories of subgradient dynamical systems in semialgebraic settings.

研究の動機と目的

• 無限で変動するパラメータ集合を有するパラメトリック多項式不等式系に対して、ホルダー型指数を有する明示的な局所誤差評価を確立すること。
• 多項式系に由来する非滑らか関数クラスの上界関数（supremum marginal functions）に、ロジャーヴィッチの勾配不等式を拡張すること。
• 多項式データを有する最適化問題の定量的高階安定性解析を提供すること。これには、一般化された半無限プログラムおよび2次錐プログラムが含まれる。
• 半代数的設定における、サイクル投影法および部分勾配ダイナミカルシステムの明示的収束速度見積もりを導出すること。
• 新規の誤差評価技術を用いて、非凸多項式最適化における収束速度に関する未解決問題を解消すること。

提案手法

• 有限個の多項式不等式および等式によって定義されるパラメトリック多項式系を、半代数的集合論および変分解析の手法を用いて分析する。
• 一般化微分および半代数的集合論の理論的道具を応用し、上界関数の誤差評価を導出する。
• パラメータ集合のコンパクト性と多項式構造を用いて、非滑らかで上界型関数へのロジャーヴィッチ不等式の包括的拡張を確立する。
• 変数の数、多項式の次数、パラメータ空間の次元から計算可能な指数を有する明示的ホルダー型誤差評価を導出する。
• 誤差評価結果を応用し、行列多項式不等式によって定義される凸集合の共通点を求めるためのサイクル投影法の収束を分析する。
• 拡張されたロジャーヴィッチ不等式および軌道解析を用いて、半代数的目的関数を有する部分勾配ダイナミカルシステムの明示的漸近的収束速度を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限で変動するパラメータ集合を有するパラメトリック多項式系に対して、明示的なホルダー型誤差評価を確立できるか？
• RQ2 多項式最適化に由来する非滑らか上界関数（supremum marginal functions）に、ロジャーヴィッチの勾配不等式をどのように拡張できるか？
• RQ3 行列多項式不等式によって定義される凸集合に対して、サイクル投影法を適用した際の明示的収束速度は何か？
• RQ4 半代数的目的関数を有する部分勾配ダイナミカルシステムの軌道の漸近的収束速度は何か？
• RQ5 一般化された半無限プログラムおよび多項式2次錐プログラムに対して、明示的な高階安定性推定を導出できるか？

主な発見

• 本稿は、上界関数へのロジャーヴィッチ勾配不等式の新規拡張を確立し、非滑らか設定における誤差評価解析を可能にした。
• 変数の数、多項式の次数、パラメータ空間の次元から計算可能な指数を有する明示的ホルダー型誤差評価が導出された。
• 多項式データを有する一般化された半無限プログラムに対して、明示的な高階安定性推定が提供され、定量的収束速度が明示された。
• 行列多項式不等式によって定義される凸集合の共通点を求めるためのサイクル投影法は、収束速度 $ t^{-rac{1}{2 heta-1}} $ を有する。ここで $ heta = 1 - au $ であり、$ au $ は明示的に定義される。
• 半代数的目的関数を有する部分勾配ダイナミカルシステムは、明示的収束速度 $ \|x(t) - \bar{x}\| \leq c(t+1)^{-(1-\theta)/(2\theta-1)} $ で臨界点に収束する。ここで $ \theta $ は問題の多項式データから計算可能である。
• 収束速度の見積もりは明示的であり、変数の数、制約の数、および関与する多項式の最大次数にのみ依存する。