[論文レビュー] Error calculus and path sensitivity in financial models

Nicolas Bouleau|ArXiv.org|Oct 16, 2006

Stochastic processes and financial applications参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ディリクレ形式に基づく誤差微積分を導入し、マルヤヴィン微積分の拡張として、モデルパラメータおよび基礎資産のパスに対する摂動に対する金融デリバティブの感度分析を可能にする。価格設定とヘッジにおけるバイアスと分散の計算のための一貫した枠組みを提供し、ブラック・ショールズモデルやレベル依存ボラティリティを有するSDEのようなモデルにおけるギリシャ・プレミアムおよびパス感度の明示的公式を提示する。

ABSTRACT

In the framework of risk management, for the study of the sensitivity of pricing and hedging in stochastic financial models to changes of parameters and to perturbations of the stock prices, we propose an error calculus which is an extension of the Malliavin calculus based on Dirichlet forms. Although useful also in physics, this error calculus is well adapted to stochastic analysis and seems to be the best practicable in finance. This tool is explained here intuitively and with some simple examples.

研究の動機と目的

• モデルパラメータおよびパスへの摂動に対する感度を定量化することにより、金融デリバティブにおけるモデルリスクを体系的に評価するための方法を開発すること。
• ガウスの誤差伝播を、ディリクレ形式およびマルヤヴィン微積分を用いて無限次元確率過程へと拡張すること。
• 特にギリシャ・プレミアムおよびヘッジ戦略のための、バイアスと分散を計算するための取り扱いやすい枠組みを提供すること。
• 関数的係数（例：レベル依存ボラティリティ）に対するSDEの解の感度分析を可能にすること。
• 誤差構造作用素を用いた数値的手法、モンテカルロシミュレーション、Bid-Askスプレッドモデリングへの応用を検討すること。

提案手法

• ディリクレ形式を用いて、確率過程および関数的係数への摂動を取り扱える一般化された誤差微積分を定義する。
• 関数的係数の変動に起因する誤差の分散を計算するために、carré du champ作用素Γを適用し、株価やオプション価格などの拡散過程の関数的量に適用する。
• 関連する半群の生成作用素Aを用いて、特にパスやパラメータへの非中心的摂動に対する推定量のバイアスを計算する。
• 誤差構造を用いた部分積分公式を導出し、元の関数の滑らかさを要件としない感度計算を可能にする。
• 離散的近似におけるSDEに形式的を適用し、初期価格、ボラティリティ、ドリフトパラメータに対する期待ペイオフの導関数の明示的公式を導出する。
• 誤差伝播の連鎖法則を用いる：(σ(Y))# = σ#(Y) + σ′(Y)Y# により、確率的係数から解過程への誤差伝播を追跡する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 摂動がパラメータだけでなく、完全な確率的パスに対しても及ぼされる場合、金融モデルにおける誤差伝播をどのように体系的にモデル化できるか？
• RQ2 デリバティブ価格およびヘッジ戦略の感度におけるバイアスと分散の役割は何か？特にモデルおよび市場の不確実性に起因するものである。
• RQ3 誤差微積分枠組みは、標準的なデルタやガンマを越えて、高次感度（例：サブプライム・ギリシャ）に対しても取り扱いやすい公式を提供できるか？
• RQ4 関数的係数（例：レベル依存ボラティリティ）の誤差構造は、SDEの解の分布にどのように影響を与えるか？
• RQ5 誤差微積分は、パス摂動を用いてBid-Askスプレッドがデリバティブ価格およびヘッジに与える影響を説明またはモデル化できるか？

主な発見

• 誤差微積分枠組みは、ディリクレ形式およびマルヤヴィン微積分を用いて、ガウスの誤差伝播を無限次元設定へと一貫的に拡張する。
• ブラック・ショールズモデルにおいて、株価S_tに作用するバイアス作用素Aは、A[S_t] = -S_t σ B_t + ½ σ² S_t t と与えられ、パス依存のバイアス蓄積を示す。
• S_tにおける分散作用素Γは、Γ[S_t] = S_t² σ² t と与えられ、摂動下での株価パスの2次変動を捉える。
• デリバティブの価値V_tのバイアスは、A[V_t] = delta_t A[S_t] + ½ gamma_t Γ[S_t] と与えられ、価格におけるバイアスがパスバイアスおよびガンマ露出の両方から生じることを示す。
• ヘッジH_tのバイアスは、A[H_t] = gamma_t A[S_t] + ½ ∂³F/∂x³(t,S_t,σ) Γ[S_t] と与えられ、3次ギリシャ・プレミアムがヘッジにおけるバイアスに寄与することを示す。
• 確率的係数σ(t,x) = ∑ a_pq t^p x^q を有するSDEに対して、X_tにおける誤差は、Γ[X_t] = M_t² ∑ ( ∫₀ᵗ s^p X_s^{q+1}/M_s (dB_s - K_s ds) )² a_pq² と与えられ、関数的係数を通じた誤差伝播を示す。