[論文レビュー] Error Correction in Quantum Communication

Artur Ekert, Chiara Macchiavello|ArXiv.org|Feb 29, 1996

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 1被引用数 45

ひとこと要約

本稿は、量子通信における量子エラー訂正の理論的基盤を確立し、振幅エラーと位相エラーを是正する量子符号が、キュービット-チャネルのもつれによって引き起こされるエラーに対しても是正可能であることを示している。量子版のハミングおよびギルバート＝ヴァルシャモフの境界を導出し、1つの量子ビットに対する1つのエラーを是正するには最低5つの量子ビットが必要であることを証明するとともに、制御NOTゲートを用いたユニタリ操作および射影測定による実用的な符号化・復号化を示している。

ABSTRACT

We show how procedures which can correct phase and amplitude errors can be directly applied to correct errors due to quantum entanglement. We specify general criteria for quantum error correction, introduce quantum versions of the Hamming and the Gilbert-Varshamov bounds and comment on the practical implementation of quantum codes.

研究の動機と目的

• 振幅エラーと位相エラーの両方を扱える一般の量子エラー訂正基準を確立すること。
• 振幅エラーと位相エラーを是正する量子符号が、キュービット-チャネルのもつれによって生じるエラーに対しても是正可能であることを示すこと。
• 古典的エラー訂正符号の境界（例えばハミングおよびギルバート＝ヴァルシャモフの境界）の量子版を導出すること。
• ユニタリ操作および射影測定を用いた量子符号の実用的実装を示すこと。
• 量子エラー訂正の適用範囲を、混合状態および量子通信におけるもつれ状態にまで拡張すること。

提案手法

• 量子ビットにおける振幅エラーをパウリ-X（σₓ）演算子、位相エラーをパウリ-Z（σ_z）演算子で定義し、影響を受ける量子ビットを二進n-テンプルで指定する。
• デコherenceによって引き起こされるエラーを環境とのもつれとしてモデル化し、状態の振幅におけるランダム位相エラーと同等であることを示す。
• 符号化ユニタリ操作を用いてl量子ビットをn量子ビットの符号状態に写像する。例えば3量子ビット符号では|C⁰⟩と|C¹⟩の重ね合わせ状態を用いる。
• 符号状態およびその位相シフト版を含む部分空間への射影演算子L₁およびL₂を用いてエラー検出を実装する。
• 測定結果に基づいて補正用ユニタリ操作（例：Pβ）を適用し、元の状態に回復させ、エラー確率をO(p²)に低減する。
• 量子ハミング境界を導出：2^l ∑ᵢ₌₀ᵗ 3ⁱ (ⁿᵢ) ≤ 2ⁿ、および量子ギルバート＝ヴァルシャモフ境界を導出：2^l ∑ᵢ₌₀²ᵗ 3ⁱ (ⁿᵢ) ≥ 2ⁿ。これらは符号の存在可能性と性能に関するものである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 振幅エラーと位相エラーを是正する目的で設計された量子エラー訂正手順は、キュービット-チャネルのもつれによって生じるエラーに対しても是正可能か？
• RQ2 任意の振幅エラーと位相エラーの組み合わせを是正できる量子符号の必要十分条件は何か？
• RQ3 古典的符号理論からの境界が量子ドメインにどのように一般化され、コードサイズとエラー耐性にどのような意味を持つのか？
• RQ4 1つの論理的量子ビットを1つのエラーから保護するために必要な最小の物理的量子ビット数は何か？
• RQ5 量子ゲートおよび射影測定を用いて、量子エラー訂正をどのように実用的に実装できるか？

主な発見

• 量子ハミング境界により、1つの論理的量子ビットに対する任意の1エラーを是正できる最小の符号は5量子ビット符号であることが示され、これは理論的最小限である。
• 位相補正を施した3量子ビット符号を用いた場合、正常伝送の確率は約1 - p²となり、エラー率がpからp²に著しく低減される。
• 量子ハミング境界は、1つの量子ビットに対する1つのエラーを是正するには最低5つの物理的量子ビットが必要であり、既知の構成法によりそれが達成可能であることを示している。
• 量子ギルバート＝ヴァルシャモフ境界は、コード効率の下限を提供する：l/n ≥ 1 - (2t/n)log₂3 - H(2t/n)。
• n = 5, 7, 9量子ビットに対して明示的な量子符号が存在し、理論的境界の妥当性を確認するとともに、実用的実装を可能にする。
• 本手法は純粋状態および混合状態の両方に対して適用可能であり、もつれを保持したままエラー保護を実現でき、量子通信および暗号における応用を可能にする。