[論文レビュー] Error correction schemes for fully correlated quantum channels protecting both quantum and classical information

Chi-Kwong Li, Seth Lyles+1 more|arXiv (Cornell University)|May 24, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 14被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、完全に相関した量子チャネルに対して、最小限の CNOT ゲートを用いて量子情報と古典的情報の両方を保護する効率的な量子誤り訂正方式を提案する。奇数 n=2k+1 の場合、1 qubit が 3k 個の CNOT ゲートを用いてデータを符号化する。偶数 n=2k+2 の場合、2 つの古典的ビット方式が 3k+2 個の CNOT ゲートと 1 つのハダマードゲートを用い、逆符号化と部分トレースを介して回復を可能にする。実装は Qiskit および IBM 量子ハードウェアで検証された。

ABSTRACT

We study efficient quantum error correction schemes for the fully correlated channel on an $n$-qubit system with error operators that assume the form $σ_x^{\otimes n}$, $σ_y^{\otimes n}$, $σ_z^{\otimes n}$. Previous schemes are improved to facilitate implementation. In particular, when $n$ is odd and equals $2k+1$, we describe a quantum error correction scheme using one arbitrary qubit $σ$ to protect the data state $ρ$ in a $2k$-qubit system. The encoding operation $σ\otimes ρ\mapsto Φ(σ\otimes ρ)$ only requires $3k$ CNOT gates (each with one control bit and one target bit). After the encoded state $Φ(σ\otimes ρ)$ goes through the channel, we can apply the inverse operation $Φ^{-1}$ to produce $ ilde σ\otimes ρ$ so that a partial trace operation can recover $ρ$. When $n$ is even and equals $2k+2$, we describe a hybrid quantum error correction scheme using any one of the two classical bits $σ\in \{|ij angle \langle ij|: i, j \in \{0,1\}\}$ to protect a $2k$-qubit state $ρ$ and 2 classical bits. The encoding operation $σ\otimes ρ\mapsto Φ(σ\otimes ρ)$ can be done by $3k+2$ CNOT gates and a single quibt Hadamard gate. After the encoded state $Φ(σ\otimes ρ)$ goes through the channel, we can apply the inverse operation $Φ^{-1}$ to produce $σ\otimes ρ$ so that a perfect protection of the two classical bits $σ$ and the $2k$-qubit state is achieved. If one uses an arbitrary $2$-qubit state $σ$, the same scheme will protect $2k$-qubit states. The scheme was implemented using Matlab, Mathematica, Python, and the IBM's quantum computing framework qiskit.

研究の動機と目的

• 完全に相関した量子チャネルに対して、量子および古典的情報を両方保護する効率的な量子誤り訂正方式の開発。
• 特に CNOT ゲートの数を最小限に抑えることで、このようなチャネルにおける符号化および復号に必要な量子ゲート数を削減すること。
• ユニタリ変換と部分トレース回復を用いた符号化および復号操作の明示的構成の提供。
• Qiskit を用いて実際の量子ハードウェアに実装・検証し、異なる IBM 量子プロセッサ間での性能を比較すること。
• シンダム測定を必要とせず、ゲート分解と数値的安定性に焦点を当てた誤り訂正の実装における課題の解決。

提案手法

• 奇数 n=2k+1 の場合、1 つの補助 qubit σ を用いて 2k-qubit 状態 ρ を符号化する方式で、符号化に 3k 個の CNOT ゲートを要するユニタリ符号化 Φ(σ⊗ρ) を使用する。
• 偶数 n=2k+2 の場合、2 つの古典的ビット σ∈{|00⟩⟨00|,|01⟩⟨01|,|10⟩⟨10|,|11⟩⟨11|} と 1 つのハダマードゲートを用いるハイブリッド方式で、符号化に 3k+2 個の CNOT を要する。
• 符号化操作 Φ(σ⊗ρ) は、チャネル通過後、逆符号化 Φ⁻¹ によって σ⊗ρ が回復可能となるように設計されており、部分トレースにより古典的情報および量子情報の完全回復が可能である。
• 本方式は Knill-Laflamme 条件およびエラー演算子 Xₙⁿ, Yₙⁿ, Zₙⁿ の代数的性質に依存し、誤り訂正が可能であることを保証する。
• 数値的検証は Matlab, Mathematica, Python を用いて実施され、行列ノルムにより正確または機械精度レベルでの正しさが確認された。
• 実験的検証は、IBM の ibmqx4（テネリフェ）および ibmqx2（ヨークタウン）プロセッサを用いて実施され、異なる入力状態における誤り率および忠実度の比較がなされた。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シンダム測定を必要とせず、複雑な補助 qubit 構造を用いずに、完全に相関したチャネルに対して効率的な量子誤り訂正が可能か？
• RQ2 完全に相関したパウリ X, Y, Z エラー下で、2k-qubit 量子状態を符号化・復号するのに必要な最小 CNOT ゲート数は何か？
• RQ3 符号化に古典的ビットを組み込むことで、相関ノイズ下での古典的情報および量子情報の保護がどのように向上するか？
• RQ4 対称的な符号化にもかかわらず、特定のキュービット（例：q₁）が実験的実装で高い誤り率を示すのはなぜか？
• RQ5 提案された方式は、高忠実度で現実のノイズの多い中規模量子（NISQ）デバイスに信頼性高く実装可能か？

主な発見

• 奇数 n=2k+1 の場合、部分トレースによる完全回復が可能であり、正確にゼロのノルム偏差が得られることを数値的に検証済みで、符号化および復号に 3k 個の CNOT ゲートのみを要する。
• 偶数 n=2k+2 の場合、ハイブリッド方式は 3k+2 個の CNOT ゲートと 1 つのハダマードゲートを用い、2 つの古典的ビットおよび 2k-qubit 量子状態の完全回復を達成する。
• Mathematica における数値シミュレーションにより、ハダマードゲートを含んでも方式の正確性が完全に保証されていることが確認された。一方、Matlab および Python では機械精度レベルでの誤差が観測された。
• IBM の ibmqx4（テネリフェ）および ibmqx2（ヨークタウン）での実験結果から、テネリフェがヨークタウンよりも忠実度が高く、特に入力状態 00 および 01 において顕著に優れていることが判明。ヨークタウンではゲート誤りおよび読み取り誤り率が高かった。
• 5 キュービット実験では、両デバイスとも有用な結果を出力しなかった。これは、現在のノイズの多いハードウェアでは本方式のスケーリングに限界があることを示唆している。
• 体系的な誤りとして、第二キュービット（q₁）が想定よりも常に高い誤り率を示した。これは、アイデンティティチャネル下でも同様に観測され、ハードウェア固有のノイズパターンを示唆している。