[論文レビュー] Error-disturbance relations in mixed states

Masanao Ozawa|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2014

Quantum Mechanics and Applications参考文献 3被引用数 11

ひとこと要約

本稿は混合状態における量子測定の普遍的誤差・撹乱関係（EDR）を強化し、スピン観測値に対して最適な新たな tighter 界を導出する。著者らはバイアスと出力ゆらぎを含む新しいパrameterizationを導入し、ある関係式がいかなる状態に対してもタイトであることを証明することで、従来の形式に見られる制限を解消し、量子情報応用分野におけるより優れた状態推定を可能にする。

ABSTRACT

Heisenberg's uncertainty principle was originally formulated in 1927 as a quantitative relation between the "mean error" of a measurement of one observable and the disturbance thereby caused on another observable. Heisenberg derived this famous relation under an additional assumption on quantum measurements that has been abandoned in the modern theory, and its universal validity was questioned in a debate on the sensitivity limit to gravitational-wave detectors in 1980s. A universally valid form of the error-disturbance relation was shown to be derived in the modern framework of general quantum measurements in 2003. We have experienced a considerable progress in theoretical and experimental study of error-disturbance relations in the last decade. In 2013 Branciard showed a new stronger form of universally valid error-disturbance relations, one of which is proved tight for spin measurements carried out in "pure" states. Nevertheless, a recent information-theoretical study of error-disturbance relations has suggested that Branciard relations can be considerably strengthened for measurements in mixed states. Here, we show a method for strengthening Branciard relations in mixed states and derive several new universally valid and stronger error-disturbance relations in mixed states. In particular, it is proved that one of them gives an ultimate error-disturbance relation for spin measurements, which is tight in any state. The new relations will play an important role in applications to state estimation problems including quantum cryptographic scenarios.

研究の動機と目的

• 従来の誤差・撹乱関係には、普遍的でないか、混合状態ではタイトでないという限界があるため、それらを是正すること。
• 一般の量子測定に対して、混合状態においても適用可能なより強い普遍的EDRを導出すること。
• 初期状態にかかわらずスピン測定においてタイトである新しいEDR形式を確立すること。
• 一般の量子測定の文脈において、バイアスおよび出力ゆらぎパrameterを用いたEDRの強化フレームワークを提供すること。
• 新しい関係式を活用することで、量子状態推定および量子暗号的シナリオにおけるより良い境界を達成すること。

提案手法

• 著者らは、プローブ系とユニタリ相互作用を含むパラメータ化された同時測定モデルを導入し、可換子の分解に自己随伴ユニタリ演算子 W を用いる。
• 系－プローブ状態のヒルベルト空間におけるベクトルを定義し、誤差と撹乱を表す。中心化された演算子 A₀, B₀ および測定演算子 𝒜₀, 𝒞₀ を用いる。
• 誤差と撹乱の幾何的分解を可能にするために、共通のユニタリ W を定義するため、√ρ[A,B]√ρ の極分解を用いる。
• 主要な式 (S36) から (S49) までが、標準偏差および測定ゆらぎに基づく誤差と撹乱の表現を示しており、直交性 (S45) および内積恒等式 (S44) が導出の核心をなす。
• ベクトル不等式を用いて誤差と撹乱の積を束縛し、バイアスおよび出力ゆらぎを組み込んだ新しいEDR（式 36）を導出する。
• スピン 1/2 系において、初期状態がいかなるものであっても等号が達成可能であることを示すことで、最終的な関係式のタイトさを証明し、明示的な測定モデルの構築により、すべての初期状態において最適性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Branciard の形式よりも、混合状態において普遍的誤差・撹乱関係を強化できるか？
• RQ2 初期状態が純粋状態であろうと混合状態であろうと、スピン測定においてタイトな普遍的EDRが存在するか？
• RQ3 測定におけるバイアスおよび出力ゆらぎは、混合状態における誤差と撹乱のトレードオフにどのように影響するか？
• RQ4 新しいEDRは、量子状態推定および量子暗号プロトコルの改善に応用可能か？
• RQ5 任意の混合状態におけるスピン観測値の最終的な誤差・撹乱トレードオフは何か？

主な発見

• 本稿は、任意の状態（混合状態を含む）においてスピン 1/2 測定に対してタイトな新しい普遍的誤差・撹乱関係を導出する。
• 導出された関係式の中には、スピン 1/2 系のすべての純粋状態および混合状態において、誤差と撹乱のトレードオフで等号が達成可能であり、これが最終的境界であることを証明する。
• 新しい関係式はバイアスおよび出力ゆらぎを組み込んでおり、従来の形式よりも測定誤差および撹乱のより洗練された特徴づけを可能にする。
• この手法により、Branciard の関係式が混合状態においても強化され、状態が純粋でない場合に、従来の境界が著しくタイトにできることが示された。
• 導出されたEDRは、量子状態推定および量子暗号プロトコルに適用可能であり、実用的応用におけるより良い理論的境界を提供する。
• 等号が達成可能な明示的な測定モデルの構築により、関係式のタイトさが証明され、すべての初期状態において最適性が確認された。