[論文レビュー] Error estimate and unfolding for periodic homogenization

Georges Griso|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2011

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 3被引用数 79

ひとこと要約

本稿では、正則性仮定を課さずに、周期的均質化における最適な誤差見積もりを周期的アンフォールディング法を用いて確立する。調和関数の周期的欠損を単位胞の対向面におけるトレース差分を用いた新しい特徴付けにより行い、均質化解と領域境界の最小限の正則性条件下で、ε^γ（γ > 0）のオーダーの誤差境界を導出する。nおよび領域の幾何構造に明示的な依存関係を有する。

ABSTRACT

This paper deals with the error estimate in problems of periodic homogenization. The methods used are those of the periodic unfolding. We give the upper bound of the distance between the unfolded gradient of a function belonging to $H1(Ω)$ and the space $ abla_x H^1(Ω)\oplus abla_y L^2(Ω; H^1_{per}(Y))$. These distances are obtained thanks to a technical result presented in Theorem 2.3: the periodic defect of a harmonic function belonging to $H1(Y)$ is written with the help of the norms $H^{1/2}$ of its traces diff erences on the opposite faces of the cell $Y$. The error estimate is obtained without any supplementary hypothesis of regularity on correctors.

研究の動機と目的

• 正則性仮定 W^{1,∞} を課さずに、周期的均質化における誤差見積もりを導出すること。
• 単位胞の対向面におけるトレース差分を用いて、H^1(Y; X) 内の調和関数の周期的欠損を特徴付けること。
• 均質化解と領域境界の最小限の正則性条件下で、均質化解および勾配の ε^γ オーダーの誤差境界を確立すること。
• トレースに基づく欠損分解を用いて、低正則性設定に対応するように周期的アンフォールディング法を拡張すること。
• Lipschitz 域および C^{1,1} 域に対して、ε に依存しない定量的誤差見積もりを提供すること。

提案手法

• 関数 u ∈ H^1(Ω) の勾配を、マクロスコピックおよびミクロスコピック成分に分解するため、周期的アンフォールディング法を用いる。
• 関数とその周期的近似との距離を W^{1,p} 空間で推定するため、トレースに基づくリフト構成（補題 2.2）を適用する。
• H^1(Y; X) 内の調和関数に対して、対向面におけるトレース差分の H^{1/2} ノルムを用いた、周期的欠損のトレースに基づく特徴付けを確立する。
• 境界付近での推定を局所化するため、切り捨て関数 ρε,α を導入し、境界層効果を制御する。
• ρε,α と勾配の H^1 ノルムを含む重み付きノルムを用いて、アンフォールド空間における安定性見積もりを導出する。
• Poincaré-Wirtinger 不等式とトレース推定を適用し、元の解と近似解との間の誤差を有界化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則性仮定 W^{1,∞} を課さずに、周期的均質化における誤差見積もりを導出可能か？
• RQ2 H^1(Y; X) 内の調和関数の周期的欠損は、単位胞の対向面におけるトレース差分をどのように定量的に特徴付けられるか？
• RQ3 均質化解と領域境界の最小限の正則性仮定下で、均質化解および勾配の最適収束速度は何か？
• RQ4 トレースに基づく欠損分解を用いて、周期的アンフォールディング法を低正則性設定に拡張し、誤差見積もりを得られるか？
• RQ5 誤差見積もりは、領域の幾何構造および右辺 f ∈ L^2(Ω) の正則性にどのように依存するか？

主な発見

• H^1(Y; X) 内の調和関数の周期的欠損は、単位胞 Y の対向面におけるトレース差分の H^{1/2} ノルムの和に等しい。
• C^{1,1} 境界では、均質化解 Φ が H^2(Ω) に属する限り、誤差見積もりは ε のオーダーである。
• Lipschitz 境界では、演算子 A、次元 n、および領域 ∂Ω に依存する γ ∈ (0, 1/3] のオーダーで誤差見積もりは ε^γ である。
• 均質化解 Φ が W^{1,q}(Ω) に属する場合、q > 2 に対して誤差境界は ε^{(q-2)/(3q-2)} のオーダーである。
• 係数行列 A が W^{1,∞}(Ω; L^∞_per(Y)) に属する場合でも、見積もりは有効であり、より正則性の低い係数に対しても適用可能である。
• 誤差見積もりの定数は、n、A、および領域 ∂Ω のみに依存し、ε には依存しない。