[論文レビュー] Error Estimate of MacCormack Rapid Solver Method for 2D Incompressible Navier-Stokes Problems

Eric Ngondiep|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2019

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、2次元非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式に対する2レベルMacCormack Rapid Solver (MCRS) 法の誤差推定と収束速度を分析している。明示的MacCormack法とCrank-Nicolsonスキームを組み合わせた手法であり、理論的および数値的結果により、時間および空間において2次精度であることが確認され、均等なメッシュ細分化において速度および圧力誤差の収束率は約2.0である。

ABSTRACT

The error estimates and convergence rate of a two-level MacCormack rapid solver method for solving a two-dimensional incompressible Navier-Stokes equations are analyzed. This represents a continuation of the work on the stability analysis of the method. The theoretical result suggests that the rapid solver method is both convergent and second order accurate with respect to time step $\\Delta t.$ A wide set of numerical evidences confirm this theoretical analysis.

研究の動機と目的

• 2次元非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式に対する2レベルMacCormack Rapid Solver (MCRS) 法の誤差推定と収束速度を分析すること。
• 先行の安定性解析を拡張し、グローバル誤差推定と収束速度の検証を提供すること。
• 2レベル有限要素ガラーキン法のような1次精度法と比較して、MCRSスキームの効率性および頑健性を示すこと。
• 多様なメッシュサイズおよび時間刻みの変更を伴う広範な数値実験により、理論的結果を確認すること。

提案手法

• MCRS法は、2次元非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式を解くために、明示的予測子・修正子スキームであるMacCormack法とCrank-Nicolson時間離散化を組み合わせたものである。
• 2レベルの定式化が採用されており、非線形対流項はMacCormack法で明示的に処理され、粘性項および圧力項の時間方向2次精度はCrank-Nicolsonスキームが保証する。
• 空間的離散化には変分定式化を用い、三角形分割された領域上で有限要素法を適用し、混合有限要素法により非圧縮性を強制する。
• 収束性の評価には、速度、圧力、およびその勾配について、L²(0,T;L²)およびL²(0,T;H¹)空間における誤差ノルムを定義する。
• 収束率は、公式 $ r^{1}_{(\text{cdot})} = \log_2\left( \frac{E^{N}((\text{cdot}))}{E^{N-1}((\text{cdot}))} \right) $ を用いて計算され、$ \Delta t = h $ の条件下で精度の次数を評価する。
• 数値的テストは、正確な解が存在する2つのベンチマーク問題に対して、均等なメッシュ細分化および時間刻みの縮小を伴って実施された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2レベルMCRS法は、2次元非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式に対して、時間および空間において2次精度を有するか？
• RQ2 MCRS法のグローバル収束率は、速度、圧力、および速度勾配誤差の観点からどの程度か？
• RQ3 2レベル有限要素ガラーキン法のような1次精度法と比較して、MCRS法の精度および効率性はいかがなっているか？
• RQ4 数値実験は、理論的誤差推定および収束率をどの程度確認しているか？
• RQ5 ハイブリッドMacCormack–Crank-Nicolsonアプローチは、長時間にわたり安定性および精度を維持できるか？

主な発見

• 理論的解析により、MCRS法は時間刻み $ \Delta t $ において2次精度であることが確認され、速度および圧力誤差の収束率は2.0に近づく。
• 数値実験では、$ \Delta t = 2^{-7} $ における速度 $ u $ の収束率が約2.0000に達し、$ r^{1}_u = 2.0000 $ となることから、2次収束が確認された。
• 圧力 $ p $ についても、$ \Delta t \leq 2^{-7} $ の範囲で収束率が約2.0000に安定化し、2次精度が裏付けられた。
• 勾配誤差 $ E^N(\nabla u) $ は約1.415の収束率を示し、H¹ノルム誤差の期待される次数と整合的である。
• MCRS法は、1次精度の2レベル有限要素ガラーキン法と比較して、精度および計算効率の両面で優れていることが示された。
• 正確な解を用いたテストにより、異なるレイノルズ数および問題設定においても、MCRSスキームが頑健かつ信頼性があることが検証された。