[論文レビュー] Error estimates and a two grid scheme for approximating transmission eigenvalues

Yidu Yang, Jiayu Han+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2015

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 18被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、ヘルムホルツ散乱問題における透過固有値を計算するための二重グリッド有限要素スキームを提案する。非自己共役な二次固有値問題を線形化することで、自己共役かつ強制的（coercive）な形に変換し、厳密な誤差解析が可能な形にしている。本手法は、実固有値および複素固有値の両方を高精度で計算可能であり、最適収束率を達成しており、理論的誤差推定とさまざまな領域における数値実験によって検証されている。

ABSTRACT

In this paper, using the linearization technique we write the Helmholtz transmission eigenvalue problem as an equivalent nonselfadjoint linear eigenvalue problem whose left-hand side term is a selfadjoint, continuous and coercive sesquilinear form. To solve the resulting nonselfadjoint eigenvalue problem, we give an $H^{2}$ conforming finite element discretization and establish a two grid discretization scheme. We present a complete error analysis for both discretization schemes, and theoretical analysis and numerical experiments show that the methods presented in this paper can efficiently compute real and complex transmission eigenvalues.

研究の動機と目的

• ヘルムホルツ散乱問題における透過固有値を計算するための堅牢かつ高精度な有限要素法の開発。
• 透過固有値問題における非自己共役性と楕円型でない性質に起因する課題の克服。
• 一般条件下で実固有値および複素固有値の両方に対して有効な完全な誤差解析の提供。
• 計算効率を向上させつつ精度を保持する二重グリッド離散化スキームの設計。
• 凸領域および非凸領域における数値実験を通じて、本手法の有効性の検証。

提案手法

• 文献[33]の技術を用いて、二次固有値問題(5)を等価な非自己共役線形固有値問題(11)に線形化し、左辺が自己共役かつ連続的かつ強制的であることを保証する。
• 線形化問題に$H^2$-適合有限要素離散化を適用し、正定値ヘルミート行列のブロック対角剛性行列が得られる。
• Babuška-Osborn固有スペクトル近似理論を用いて、有限要素近似に対する厳密な誤差推定を導出する。
• 二つの補助問題を導入し、低ノルム誤差解析における導関数を含む非対称右辺を処理するためにNitsche法を適用する。
• 最初に粗グリッド問題を解き、その後にその解を用いて細かいグリッド近似を補正する二重グリッド離散化スキームを提案し、計算コストを削減する。
• 歪みのある非凸領域における特異点に対応するため、三角形メッシュ上にArgyrisおよびBFS有限要素を用いて実装し、適応的メッシュ細分化を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $H^2$-適合有限要素近似における透過固有値（複素固有値および重複固有値を含む）に対して、完全な誤差解析を確立できるか？
• RQ2 透過固有値問題の非自己共役性および非楕円型性をどのように克服すれば、信頼性の高い数値計算が可能になるか？
• RQ3 提案された二重グリッドスキームの収束性は、実固有値および複素固有値の両方に対してどのように振る舞うか？
• RQ4 非凸領域における固有関数の特異性は、有限要素近似の収束速度にどのように影響するか？
• RQ5 提案された手法は、実固有値および複素固有値の両方を高精度で効率的に計算できるか？

主な発見

• 提案された$H^2$-適合有限要素法は、凸領域では固有値に対して約2の最適収束次数を達成するが、非凸L字型領域では特異性の影響により収束速度が約1.4に低下する。
• 二重グリッドスキームは計算コストを顕著に削減しながらも、高い精度を維持しており、$h \to 0$のとき粗グリッド固有値$k_{j,H}$が細グリッド解$k_{j,h}$に収束することが確認された。
• 単位正方形およびL字型領域における数値実験により、理論的収束速度が確認され、メッシュサイズ$h$の細分化に伴い相対誤差が減少した。
• 区分的定数$n(x)$を有する円形領域では、Argyris要素が[19]の解析的ベンチマークと整合する固有値を生成し、手法の精度が妥当であることが検証された。
• 複素透過固有値（例：$n=8+x_1-x_2$のときの$\pm 0.566i$）でさえ、複数回のメッシュ細分化にわたり高い精度で計算可能であった。
• 離散系は正定値ヘルミート行列のブロック対角剛性行列をもたらし、良好な代数的性質と安定な反復解法の実行を保証した。