[論文レビュー] Error estimates for semi-discrete finite element approximations for a moving boundary problem capturing the penetration of diffusants into rubber

Surendra Nepal, Yosief Wondmagegne+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2021

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、ゴムへの溶媒拡散をモデル化する1次元の移動界面問題に半離散有限要素法を適用した場合の事前および事後誤差見積もりを提示する。問題を固定領域に変換し、エネルギーおよび積分見積もりに補間・トレース不等式を用いることで、濃度および移動界面位置の両方について収束速度 𝒪(1) を確立した。数値実験により実験的整合性が確認された。

ABSTRACT

We consider a moving boundary problem with kinetic condition that describes the diffusion of solvent into rubber and study semi-discrete finite element approximations of the corresponding weak solutions. We report on both a priori and a posteriori error estimates for the mass concentration of the diffusants, and respectively, for the a priori unknown position of the moving boundary. Our working techniques include integral and energy-based estimates for a nonlinear parabolic problem posed in a transformed fixed domain combined with a suitable use of the interpolation-trace inequality to handle the interface terms. Numerical illustrations of our FEM approximations are within the experimental range and show good agreement with our theoretical investigation. This work is a preliminary investigation necessary before extending the current moving boundary modeling to account explicitly for the mechanics of hyperelastic rods to capture a directional swelling of the underlying elastomer.

研究の動機と目的

• 移動界面問題としてのゴム内への溶媒浸透をモデル化する半離散有限要素近似の精度を分析すること。
• 拡散粒子濃度および移動界面位置のための事前および事後誤差見積もりを導出すること。
• 理論的誤差境界を数値実験により検証し、実験データと整合するものとする。
• 将来のハイパーリンラスティックエラストマーにおける方向的膨張の力学結合モデルへの拡張の基盤を築くこと。

提案手法

• 数値的取り扱いを簡素化するため、座標変換を用いて移動界面問題を固定領域に変換する。
• 変換された領域における弱解を定義し、[17, 18] の先行研究からの事前解析により存在性および一様有界性を確立する。
• 固定領域における非線形放物型系にエネルギーおよび積分見積もりを適用し、誤差境界を導出する。
• 移動界面に起因する誤差解析における界面項を制御するために補間・トレース不等式を用いる。
• 均等な時間分割を用いて1次元で有限要素法を実装し、オープンソースのPythonツールを活用する。
• 細かいメッシュの基準解と離散 ℓ² 範囲を用いて収束速度を計算し、理論的見積もりの妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ゴム内の移動界面拡散モデルにおける半離散有限要素法の、拡散粒子濃度近似の収束速度は何か？
• RQ2 移動界面の位置および速度の数値近似はどの程度正確であり、厳密に導出可能な誤差境界は何か？
• RQ3 数値結果は、密度の高いゴムおよびフォームゴムにおける溶媒浸透の実験データとどの程度一致するか？
• RQ4 実際の応用において、事前と事後の誤差見積もりはどのように比較され、FEMスキームの信頼性について何を示唆するか？
• RQ5 未知の移動界面に起因する非線形結合は、最適収束速度にどのような影響を及えるか？

主な発見

• 拡散粒子濃度および移動界面位置のための事前誤差見積もりは、界面における非線形結合に起因する最適性からの逸脱を除き、収束速度 𝒪(1) を示す。
• 事後誤差見積もり (59) は、計算可能な誤差境界を提供し、理論的期待と整合しており、適応的メッシュ改善戦略を支援する。
• 数値実験により、密度の高いゴムおよびフォームゴムの両ケースにおいて、シミュレートされた濃度プロファイルと実験データが良好に一致した。
• メッシュの細分化に伴う離散誤差の対数-対数プロットにより算出された収束次数は、理論的レートと一致し、誤差解析の妥当性を確認した。
• 有限要素スキームは、実験範囲内で安定かつ正確な結果を達成しており、収束速度は理論的予測に近く、良好であった。
• 細かいメッシュの基準解の使用により、誤差ノルムおよび収束次数の信頼性ある計算が可能となり、数値実装の妥当性が検証された。