[論文レビュー] Error Estimates for Sparse Optimal Control Problems by Piecewise Linear Finite Element Approximation

Xiaoliang Song, Bo Chen+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2017

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、楕円型偏微分方程式に支配されるスパース最適制御問題における $L^1$-ノルムの新しい有限要素離散化スキームを提案する。双対性に基づくアプローチと加速ブロック座標降下法（ABCD）を用いることで、非最適なノード台形積分を回避する。主な貢献は、最良の誤差収束順序 $O(h)$ を保持する新しい $L^1$-ノルム近似の構築であり、厳密な有限要素誤差推定により確認されており、離散化がプライマル解の収束率を劣化させないことを保証する。

ABSTRACT

Optimization problems with $L^1$-control cost functional subject to an elliptic partial differential equation (PDE) are considered. However, different from the finite dimensional $l^1$-regularization optimization, the resulting discretized $L^1$-norm does not have a decoupled form when the standard piecewise linear finite element is employed to discretize the continuous problem. A common approach to overcome this difficulty is employing a nodal quadrature formula to approximately discretize the $L^1$-norm. It is inevitable that this technique will incur an additional error. Different from the traditional approach, a duality-based approach and an accelerated block coordinate descent (ABCD) method is introduced to solve this type of problem via its dual. Based on the discretized dual problem, a new discretized scheme for the $L^1$-norm is presented. Compared new discretized scheme for $L^1$-norm with the nodal quadrature formula, the advantages of our new discretized scheme can be demonstrated in terms of the approximation order. More importantly, finite element error estimates results for the primal problem with the new discretized scheme for the $L^1$-norm are provided, which confirm that this approximation scheme will not change the order of error estimates.

研究の動機と目的

• PDE制約付き最適制御問題における $L^1$-制御コストを伴う場合、分片線形有限要素法を用いた際の非分離的 $L^1$-ノルム離散化の課題に対処すること。
• 標準的なノード台形積分による $L^1$-ノルム離散化で生じる非最適な近似誤差を克服すること。
• 有限要素法の最良収束順序を維持する新しい $L^1$-ノルム離散化スキームの開発。
• 新しい離散化スキームを用いたプライマル問題に対する厳密な有限要素誤差推定を確立し、収束率の劣化を防ぐこと。

提案手法

• スパース最適制御問題を再定式化するために双対性に基づくアプローチを採用し、加速ブロック座標降下法（ABCD）を用いて双対問題を効率的に解く。
• 双対問題から導かれる新しい離散化 $L^1$-ノルム近似 $\|u_h\|_{\widetilde{L}_h^1(\Omega_h)}$ を定式化し、ノード台形積分公式を回避する。
• 双対定式化を用いることで、ノード台形積分法に内在する $O(h)$ の誤差を回避し、$L^1$-ノルムのより高精度な近似を構築する。
• 新しい $L^1$-ノルム離散化を用いたプライマル問題の有限要素誤差推定を導出し、収束順序が $O(h)$ のまま維持されることを証明する。
• 双対性の議論、補間誤差推定、連続および離散解作用素の差のバインドに依拠した解析を行う。
• H"olderの不等式および解作用素 $\mathcal{S}$ と $\mathcal{S}_h$ の性質を用いて主要な推定を導出し、最終的な誤差バインド $\|u^* - u_h^*\|_{L^2} \leq C(\alpha^{-1}h + \alpha^{-3/2}h^2)$ を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ノード台形積分による $O(h)$ 誤差を回避しつつ、制御の $L^2$-誤差において最良の収束順序を維持する有限要素離散化が、$L^1$-ノルムに構築可能か。
• RQ2 新しい離散化 $L^1$-ノルム近似が、プライマル最適制御問題を解く際に、連続問題と同等の収束速度を維持できるか。
• RQ3 双対性に基づくアプローチとABCD法を組み合わせることで、PDE制約付き最適制御における $L^1$-ノルムのより正確で安定した離散化が可能か。
• RQ4 新しい $L^1$-ノルム離散化が、制御変数および状態変数の全体的な有限要素誤差推定に与える影響は何か。

主な発見

• 標準的なノード台形積分公式 $\|u_h\|_{L_h^1(\Omega_h)}$ よりも高い近似順序を達成する新しい離散化 $L^1$-ノルム $\|u_h\|_{\widetilde{L}_h^1(\Omega_h)}$ が得られる。このノード台形積分では $O(h)$ の誤差が生じる。
• 新しい $L^1$-ノルム離散化を用いたプライマル問題の有限要素誤差推定により、収束順序が最良のままであることが確認され、$\|u^* - u_h^*\|_{L^2(\Omega)} \leq C(\alpha^{-1}h + \alpha^{-3/2}h^2)$ が成り立つ。
• 誤差バインドはスパarsityパラメータ $\beta$ に依存しないため、さまざまなスパarsity領域においても安定である。
• 双対性に基づくアプローチとABCD法により、標準的な有限要素離散化における非分離的勾配問題を回避する、より正確な $L^1$-ノルム近似が得られる。
• 解析により、新しい離散化が有限要素法の収束率を劣化させず、制御の $L^2$-ノルムにおける最良の $O(h)$ 収束順序を保持することが証明された。
• ドメインの標準的仮定、解の正則性、有限要素近似の仮定の下で誤差推定が確立されており、広範な適用可能性を有する。