[論文レビュー] Error estimates for spectral convergence of the graph Laplacian on random geometric graphs towards the Laplace--Beltrami operator

Nicolás García Trillos, Moritz Gerlach+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 30, 2018

Spectral Theory in Mathematical Physics被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、R^d に埋め込まれた滑らかでコンpaktoな部分多様体 M 上のランダム幾何グラフにおけるグラフラプラシアンのスペクトル収束について、誤差推定を確立する。サンプルサイズ n が増加し、近隣半径 h が減少するにつれて、固有値および固有関数は O((log n / n)^{1/(2m)}) のレートで収束する。部分多様体の幾何や密度に関する事前知識がなくても、グラフ構築や固有関数の外挿拡張が可能である。

ABSTRACT

We study the convergence of the graph Laplacian of a random geometric graph generated by an i.i.d. sample from a $m$-dimensional submanifold $M$ in $R^d$ as the sample size $n$ increases and the neighborhood size $h$ tends to zero. We show that eigenvalues and eigenvectors of the graph Laplacian converge with a rate of $O\Big(\big(\frac{\log n}{n}\big)^\frac{1}{2m}\Big)$ to the eigenvalues and eigenfunctions of the weighted Laplace-Beltrami operator of $M$. No information on the submanifold $M$ is needed in the construction of the graph or the "out-of-sample extension" of the eigenvectors. Of independent interest is a generalization of the rate of convergence of empirical measures on submanifolds in $R^d$ in infinity transportation distance.

研究の動機と目的

• m次元部分多様体 M ⊂ R^d 上のグラフラプラシアンがラプラス–ベルトラミ作用素にスペクトル収束する定量的誤差境界を確立すること。
• サンプルサイズ n → ∞ および近隣サイズ h → 0 の下での固有値および固有関数の収束レートを分析すること。
• 部分多様体の幾何や密度に関する事前知識を必要としない収束レートを導出することにより、固有関数の外挿拡張を可能にすること。
• 部分多様体上での経験的測度の上限輸送距離における収束レートの一般化。これは主なスペクトル収束解析を支援する。

提案手法

• i.i.d. のサンプルから構築されたランダム幾何グラフを用いる。M ⊂ R^d は m 次元部分多様体であり、近隣半径 h を持つ。
• グラフラプラシアンは、点間の測地的距離に依存するカーネル関数 η を用いて定義され、σ_η を通じて連続的ラプラシアンと関連づけられる。
• 離散的グラフラプラシアンと連続的ラプラス–ベルトラミ作用素を結びつけるために、離散化作用素 P 及びその随伴 P* を用いる。
• 収束レートは、M 上の経験的測度 μ_n と真の測度 μ 間の上限輸送距離を、密度のリプシッツ連続性および曲率の上限を用いて評価することで導出される。
• 局所幾何の影響を制御するために、リーマン幾何の道具を用いる。特に、指数写像の半径 i_0、リーマンの到達距離 R、および断面曲率 K を用いる。
• 重要な技術的ステップとして、各頂点 x_i における総重み m_i を、ヤコビアン歪曲率の上限 J_{x_i}(z) ≤ 1 + CmKh^2 を用いて測地的球上での積分を比較することで推定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n → ∞ および h → 0 の下で、グラフラプラシアンの固有値および固有関数は、ラプラス–ベルトラミ作用素のそれらにどの程度の速度で収束するか？
• RQ2 収束レートは、部分多様体 M の内在次元 m およびサンプルサイズ n にどのように依存するか？
• RQ3 部分多様体の密度や幾何に関する事前知識がなくても収束を確立できるか？これにより、固有関数の外挿拡張が可能になるか？
• RQ4 スペクトル収束を達成するための近隣半径 h の最適スケーリングは、n に対してどのように定まるか？
• RQ5 M 上の経験的測度と真の測度の間の上限輸送距離は、スペクトル収束レートにどのように影響するか？

主な発見

• グラフラプラシアンの固有値および固有関数は、重み付きラプラス–ベルトラミ作用素に O((log n / n)^{1/(2m)}) の速度で収束する。
• 収束レートは埋め込み次元 d に依存せず、部分多様体の内在次元 m のみに依存する。
• 部分多様体の密度 p や重み測度密度 ρ の知識がなくても分析が可能であり、固有関数の普遍的な外挿拡張が可能になる。
• M 上の経験的測度 μ_n と真の測度 μ 間の上限輸送距離は O((log n / n)^{1/(2m)}) で有界であり、これはスペクトル収束結果を裏付ける。
• 曲率および到達距離の制約下でも収束レートは頑健であり、最大断面曲率 K および多様体の到達距離 R によって誤差項が制御される。
• 導出過程により、グラフラプラシアンは L^2 意味でラプラス–ベルトラミ作用素を一様に近似することが示され、p, ρ, η のリプシッツ定数に明示的な依存関係を持つ。