[論文レビュー] Error estimates of the backward Euler-Maruyama method for multi-valued stochastic differential equations

Monika Eisenmann, Mihály Kovács+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 75被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、凸で滑らかでないポテンシャルを有する多値確率微分方程式（MSDE）に対する後退オイラー＝マルヤマ法の収束を確立する。根平均平方ノルムにおいて、収束次数が少なくとも 1/4 であることを、決定論的誤差解析の技術と、多値ドリフトに一般化された単調性条件を用いて証明する。この手法は、確率的勾配流れや半離散確率的 p-ラプラシアン方程式に適用可能である。

ABSTRACT

In this paper, we derive error estimates of the backward Euler-Maruyama method applied to multi-valued stochastic differential equations. An important example of such an equation is a stochastic gradient flow whose associated potential is not continuously differentiable, but assumed to be convex. We show that the backward Euler-Maruyama method is well-defined and convergent of order at least $1/4$ with respect to the root-mean-square norm. Our error analysis relies on techniques for deterministic problems developed in [Nochetto, Savar\'e, and Verdi, Comm.\ Pure Appl.\ Math., 2000]. We verify that our setting applies to an overdamped Langevin equation with a discontinuous gradient and to a spatially semi-discrete approximation of the stochastic $p$-Laplace equation.

研究の動機と目的

• 滑らかでない凸ポテンシャルを有する多値確率微分方程式（MSDE）に後退オイラー＝マルヤマ法を適用した際の強い収束誤差推定を導出すること。
• 前向きオイラー＝マルヤマ法のような明示的手法が、非線形に増加するか不連続なドリフトに対して発散するという限界を克服すること。
• ドリフトが凸ポテンシャルの部分微分であるような MSDE における数値解析を拡張すること。これは、微分不能なポテンシャルを有する確率的勾配流れに現れる。
• 過減衰ランジュヴィニ方程式における不連続な勾配や、空間的に半離散化された確率的 p-ラプラシアン方程式といった具体的な問題への適用性を検証すること。
• 正確な解の時間的正則性を要件としない収束を確立すること。これは、準線形SPDEにおいて一般的な障害である。

提案手法

• MSDE を dX(t) + f(X(t)) dt ∋ b(X(t)) dt + g(X(t)) dW(t) として定式化し、f は最大単調作用素（例えば、凸ポテンシャルの部分微分）である。
• 後退オイラー＝マルヤマスキームを適用：Xn ∈ Xn−1 − k f(Xn) + k b(Xn) + g(Xn−1) ΔWn で、等間隔の時間ステップを用いる。
• 一般化された単調性条件を用いる：すべての v, w, z ∈ D(f) に対して ⟨fv − fz, z − w⟩ ≤ γ ⟨fv − fw, v − w⟩ が成り立つ。この条件は凸関数の部分微分に対して成立する。
• 決定論的誤差解析（Nochetto et al., 2000）の技術を用いて離散誤差を評価し、グロワールド型の議論を回避する。
• b と g がグローバルリプシッツ連続であり、f が単調かつ強制的であるという条件下で、連続的MSDEおよび離散スキームの適切な定義を確立する。
• この手法を、確率的 p-ラプラシアン方程式の半離散有限要素近似に適用し、問題を有限次元SDEに写像する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかでない凸ドリフトを有するMSDEに対して、後退オイラー＝マルヤマ法を厳密に解析可能か？ これは、古典的な滑らかさ仮定が成立しない場合に成立するか。
• RQ2 滑らかでない、あるいは不連続なドリフトを有するMSDEに対して、後退オイラー＝マルヤマ法の収束速度はどの程度か？特に、ドリフトが不連続またはリプシッツでない場合に。
• RQ3 微分不能なポテンシャルを有する確率的勾配流れに適用した場合、この手法は適切に定義され、収束を示すか？
• RQ4 時間的正則性を解に課さない限り、誤差解析を無限次元問題（例えば、半離散SPDE）に拡張可能か？
• RQ5 f に対する一般化された単調性条件は、古典的なリプシッツ連続性を仮定しない収束解析を可能にするか？

主な発見

• 後退オイラー＝マルヤマ法は、凸で滑らかでないドリフトを有するMSDEに対して、L²(Ω; Rd)ノルムにおいて強い収束次数が少なくとも 1/4 で、適切に定義され収束することが保証される。
• 収束結果は最小限の仮定の下で成立する：b と g がグローバルリプシッツ連続であり、f が最大単調作用素（例えば、凸ポテンシャルの部分微分）であること。
• この手法は、勾配が不連続である過減衰ランジュヴィニ方程式（例：Φ(x) = |x| では x=0 で勾配が多値的）に適用可能である。
• この手法は、p ∈ [1, 2) に対して空間的に半離散化された確率的 p-ラプラシアン方程式にも適用可能であり、ドリフトが滑らかでない。
• 誤差境界は解の時間的正則性に依存せず、従来の手法がそのような仮定を必要とするのとは対照的である。
• 誤差境界 Ck^{1/4} の定数は時間ステップ k に依存しないが、有限要素次元 d に依存する可能性がある。これは、完全な時間空間離散化におけるさらなる解析の必要性を示唆する。