[論文レビュー] Error estimates on ergodic properties of discretized Feynman-Kac semigroups

Grégoire Ferré, Gabriel Stoltz|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 71被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、拡散過程に関連するフェインマン–カック半群の時間離散化における厳密な誤差推定を提供し、生成子の不変測度および主要固有値におけるバイアスを分析する。タライ–トゥバラ型の解析を用いて、コンパクト多様体上での離散化動的系の収束速度を確立し、拡散モンテカルロおよび関連分野における数値スキームの理論的裏付けを提供する。

ABSTRACT

We consider the numerical analysis of the time discretization of Feynman-Kac semigroups associated with diffusion processes. These semigroups naturally appear in several fields, such as large deviation theory, Diffusion Monte Carlo or non-linear filtering. We present errors estimates a la Talay-Tubaro on their invariant measures when the underlying continuous stochastic differential equation is discretized; as well as on the leading eigenvalue of the generator of the dynamics, which corresponds to the rate of creation of probability. This provides criteria to construct efficient integration schemes of Feynman-Kac dynamics, as well as a mathematical justification of numerical results already observed in the Diffusion Monte Carlo community. Our analysis is illustrated by numerical simulations.

研究の動機と目的

• 拡散過程に関連するフェインマン–カック半群の時間離散化が引き起こすバイアスを分析すること。
• 時間離散化下での生成子の不変測度および主要固有値における誤差を定量すること。
• 拡散モンテカルロおよび非線形フィルタリングに用いられる数値スキームの理論的裏付けを提供すること。
• 再重み付けを伴う非線形・測度値フェインマン–カック動的系へ、タライ–トゥバラ誤差推定を拡張すること。
• コンパクト領域上でのフェインマン–カック動的系の効率的数値統合のための収束基準を確立すること。

提案手法

• 加法的ノイズを伴う確率的微分方程式と重み関数 $W$ を用いて定義される連続時間フェインマン–カック半群を分析する。
• 有限時間刻み $\Delta t$ を用いてSDEを離散化し、時間積分を quadrature 法則で近似する。
• 得られる離散時間マルコフ連鎖 $q^n$ 及びその関連半群 $\Phi_{\Delta t,n}^W$ を研究する。
• タライ–トゥバラ型誤差解析を適用し、不変測度 $\nu_{W,\Delta t}$ が連続極限 $\nu_W$ に収束するための収束速度を導出する。
• ドブリシンの混合係数および収縮ノルムを用いて、離散半群の混合性および収束速度の上限を求める。
• 期待値の比に対する一様な上限を用いて、主要固有値 $\lambda_{\Delta t} = \tilde{\lambda}_{\Delta t}$ の等価性を証明し、固有値近似の一貫性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間離散化はフェインマン–カック半群の不変測度にどのように影響するか？
• RQ2 離散化された不変測度が真の不変測度に収束する速度は何か？
• RQ3 離散化誤差は、確率生成の速度を支配する生成子の主要固有値にどのように影響するか？
• RQ4 タライ–トゥバラフレームワークは、再重み付けを伴う非線形・測度値半群（例えばフェインマン–カック過程）へ適応可能か？
• RQ5 離散化半群が連続ダイナミクスのエルゴード性を保つために必要な条件は何か？

主な発見

• 本稿は、離散化フェインマン–カック半群の不変測度 $\nu_{W,\Delta t}$ が $\Delta t \to 0$ のとき真の不変測度 $\nu_W$ に収束することを確立し、タライ–トゥバラ解析を用いて誤差の上限を導出する。
• 離散化生成子の主要固有値 $\lambda_{\Delta t}$ は真の固有値 $\lambda$ に収束し、期待値の比に対する一様な上限を用いて $\lambda_{\Delta t} = \tilde{\lambda}_{\Delta t}$ が証明され、固有値近似の一貫性が示される。
• 離散半群の収縮ノルムは $1 - \alpha(Q)$ で有界であり、ここで $\alpha(Q)$ はドブリシンのエルゴード係数である。これにより、不変測度への指数的収束が保証される。
• 不変測度の誤差は、ベクトル場 $b$、重み関数 $W$、および離散化スキームの弱順序の正則性に依存して制御される。
• 数値実験により理論的誤差推定が確認され、実用的状況における収束速度の妥当性が検証される。
• 本分析により、基底状態エネルギー推定におけるバイアスを低減するため、拡散モンテカルロにおける高次精度離散化スキームの使用が正当化される。