[論文レビュー] Error Estimates with Explicit Constants for Sinc Quadrature and Sinc Indefinite Integration over Infinite Intervals

Tomoaki Okayama|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2013

Numerical Methods and Algorithms参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、半無限および無限区間におけるSinc求積およびSinc不定積分の明示的で計算可能な誤差境界を、二重指数関数的（DE）変換を用いて提示する。新たに導入されたDE変換 $ \psi_{ \text{DE3$\ddag$}}(t) = \log(1 + \mathrm{e}^{\pi \sinh t})$ は、優れた収束速度と明示的な定数をもたらし、従来未解決であった状況における検証付き自動積分を可能にする。

ABSTRACT

The Sinc quadrature and the Sinc indefinite integration are approximation formulas for definite integration and indefinite integration, respectively, which can be applied on any interval by using an appropriate variable transformation. Their convergence rates have been analyzed for typical cases including finite, semi-infinite, and infinite intervals. In addition, for verified automatic integration, more explicit error bounds that are computable have been recently given on a finite interval. In this paper, such explicit error bounds are given in the remaining cases on semi-infinite and infinite intervals.

研究の動機と目的

• 半無限および無限区間におけるSinc求積およびSinc不定積分の明示的で計算可能な誤差境界を提供すること。これは、従来、このような境界が存在しなかった分野である。
• ケース3（半無限区間における指数的減衰関数）において、収束速度と誤差推定を向上させるために、新たなDE変換を導入すること。
• 誤差の減少率を既存の変換よりも向上させる新しいDE変換 $\\psi_{\\text{DE3$\\ddag$}}(t) = \log(1 + \mathrm{e}^{\\pi \sinh t})$ を確立すること。
• 誤差推定式に明示的な定数を供給することで、検証付き自動積分を可能にすること。これは、厳密な数値計算にとって不可欠である。

提案手法

• 無限および半無限区間における二重指数関数的変換を用いたSinc求積の明示的誤差境界を導出する。
• ケース3のための新規DE変換 $\psi_{\text{DE3$\ddag$}}(t) = \log(1 + \mathrm{e}^{\pi \sinh t})$ を導入し、その逆関数が初等関数であることを保証するとともに収束性を向上させる。
• 新しい変換に対して、形式 $|\text{Error}| \leq C \mathrm{e}^{-2\pi d n / \log(4dn/\mu)}$ の誤差境界を、明示的な $C$ を用いて確立する。
• 複素解析的手法、特に解析接続および最大値の原理を用いて、ストリップ領域における変換済み被積分関数の境界を求める。
• 関数クラス $\mathbf{L}_{L,R,2\alpha,2\beta}^{\text{DE}}(\mathscr{D}_d)$ を用いて、変換後の関数の減衰性および解析性の性質を特徴付ける。
• 複素平面における対数関数および双曲線関数の推定値を用いて証明を展開し、特に主要な有理式・指数関数式の $\sup$ ノルムを活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 半無限および無限区間におけるSinc求積に対して、従来は漸近的境界しか得られなかったが、明示的で計算可能な誤差境界を導出可能か？
• RQ2 ケース3において、新規DE変換 $\psi_{\text{DE3$\ddag$}}(t) = \log(1 + \mathrm{e}^{\pi \sinh t})$ は、既存のDE変換と比較して収束速度がどのように異なるか？
• RQ3 新規変換の誤差推定式 $|\text{Error}| \leq C \mathrm{e}^{-2\pi d n / \log(4dn/\mu)}$ における明示的定数 $C$ は何か？
• RQ4 新規変換が $\psi_{\text{DE3}}$ や $\psi_{\text{DE3$\dagger$}}$ よりも優れた収束速度を示すことを証明できるか？
• RQ5 新規変換は、ケース3に関して杉原の非存在定理の意味で最適であると示せるか？

主な発見

• 新規DE変換 $\psi_{\text{DE3$\ddag$}}(t) = \log(1 + \mathrm{e}^{\pi \sinh t})$ は、$\psi_{\text{DE3}}$ や $\psi_{\text{DE3$\dagger$}}$ よりも高速な収束速度を達成し、誤差境界 $|\text{Error}| \leq C \mathrm{e}^{-2\pi d n / \log(4dn/\mu)}$ を有する。
• 誤差境界における明示的定数 $C$ が導出され、計算可能であるため、半無限および無限区間における検証付き自動積分が可能になる。
• 新規変換の誤差境界は、既存の境界 $\mathrm{e}^{-2\pi d n / \log(8dn/\mu)}$ および $\mathrm{e}^{-2\pi d n / \log(2\pi d n /\mu)}$ よりも優れている。
• 関数 $F(\zeta) = f(\psi_{\text{DE3$\ddag$}}(\zeta)) \psi_{\text{DE3$\ddag$}}'(\zeta)$ は、$L = 2(\tilde{c}_d)^{1-\alpha}K$ および $R = 2(\mathrm{e}^{\pi/12})^{1-\alpha}K$ を用いて、クラス $\mathbf{L}_{L,R,2\alpha,2\beta}^{\text{DE}}(\mathscr{D}_d)$ に属し、複素ストリップ内での解析性と減衰性を保証する。
• 証明は、複素ストリップ内での式 $\left| \frac{1+\log(1+\mathrm{e}^{\pi \sinh \zeta})}{\log(1+\mathrm{e}^{\pi \sinh \zeta})} \cdot \frac{1}{1+\mathrm{e}^{-\pi \sinh \zeta}} \right| \leq \tilde{c}_d$ の鋭い推定値に依存する。
• 新規変換は、杉原の非存在定理の意味で最適であることが示され、ケース3において同種の変換の中で最良であることが示唆される。