[論文レビュー] Errors, Correlations and Fidelity for noisy Hamilton flows. Theory and numerical examples

G. Turchetti, Stefano Sinigardi+3 more|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2015

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 29被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ノイズありハミルトニアン系の漸近的誤差増大を前向き誤差（FE）と可逆性誤差（RE）を用いて分析し、コンpact位相空間上での線形系において両者の等価性を示している。量子もつれの保全度は exp(−2π²σ²(t)) の形で指数的に減少し、可積分系では σ(t) がべき則に従って増大（β = 3/2 または 1/2）、カオス的系では指数関数的に増大する。数値的検証は非調和振動子およびヘンン・ハイレスモデルにより行われた。

ABSTRACT

We analyse the asymptotic growth of the error for Hamiltonian flows due to small random perturbations. We compare the forward error with the reversibility error, showing their equivalence for linear flows on a compact phase space. The forward error, given by the root mean square deviation $\\sigma(t)$ of the noisy flow, grows according to a power law if the system is integrable and according to an exponential law if it is chaotic. The autocorrelation and the fidelity, defined as the correlation of the perturbed flow with respect to the unperturbed one, exhibit an exponential decay as $\\exp\\left(-\\sigma^2(t)\ ight)$. Some numerical examples such as the anharmonic oscillator and the H\\'enon Heiles model confirm these results. We finally consider the effect of the observational noise on an integrable system, and show that the decay of correlations can only be observed after a sequence of measurements and that the multiplicative noise is more effective if the delay between two measurements is large.

研究の動機と目的

• 小さな確率的摂動が加わるハミルトニアン系における前向き誤差（FE）と可逆性誤差（RE）の漸近的挙動を調査すること。
• トーラス T²d などのコンパクト位相空間上での線形ハミルトニアン系において、FE と RE の等価性を確立すること。
• 特に可積分系とカオス的系において、誤差増大 σ(t) を用いて保全度と自己相関の減衰を特徴づけること。
• 観測ノイズが可積分系に与える影響、特に測定の順序と遅延の役割を検討すること。
• 数値的シミュレーションへの応用を含め、有限次元および無限次元動的系へのフレームワークの拡張を検討すること。

提案手法

• 前向き誤差 σ(t) は、摂動付きフローと元のフローとの間の二乗平均平方偏差として定義される。
• 可逆性誤差（RE）は、前向きと後向きの時間発展の後に得られる時間反転軌道と初期条件とのずれとして計算される。
• 保全度 F(t) は、摂動付きフローと元のフローとの相関として定義され、F(t) ∼ exp(−2π²σ²(t)) の形で減衰するとモデル化される。
• トーラス上での線形系では、ペロン＝フロベニウス作用素を用いて相関関係と不変測度を厳密に定義・計算する。
• 決定的成分には 4 階のシンプレクティック積分法を用い、摂動を加法的ホワイトノイズ ξ(t) でモデル化する。
• 理論的予測の妥当性を確認するため、高次元可積分系およびカオス的モデル（ヘンン・ハイレス系）に対しても数値的シミュレーションを実施した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハミルトニアン系のフローにおいて、前向き誤差と可逆性誤差が漸近的に等価となる条件は何か？
• RQ2 ノイズありハミルトニアン系において、保全度の減衰は前向き誤差 σ(t) の増大とどのように関係するか？
• RQ3 シリンダー上での可積分系において σ(t) のスケーリングは何か？また、等時性に依存するか？
• RQ4 可積分系における観測ノイズは相関の減衰にどのように影響するか？測定間の時間遅延は果たす役割は何か？
• RQ5 確率的偏微分方程式を用いて、誤差および保全度の増大フレームワークを無限次元系に拡張可能か？

主な発見

• トーラス T²d などのコンパクト位相空間上での線形ハミルトニアン系において、前向き誤差 σ(t) と可逆性誤差は漸近的に等価である。
• シリンダー上での可積分系において、σ(t) はべき則に従って増大する：非等時系では σ(t) ∼ εt³/²、等時系では σ(t) ∼ εt¹/² となる。
• 保全度は F(t) ∼ exp(−2π²σ²(t)) の形で指数的に減衰し、相関の減衰が誤差増大と直接的に関連づけられる。
• カオス的系では σ(t) が指数関数的に増大し、保全度および自己相関の指数的減衰が生じる。
• 可積分系における観測ノイズは、測定の系列が存在するまで相関の減衰を顕著に示さないが、遅延が大きい場合には乗法的ノイズが減衰を促進する。
• 非調和振動子およびヘンン・ハイレスモデルの数値的結果は、可積分系およびカオス的系の両方において理論的予測を確認している。