[論文レビュー] Errors-in-variables models: a generalized functions approach

Victoria Zinde‐Walsh|ArXiv.org|Sep 29, 2009

Bayesian Modeling and Causal Inference参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、温度分布空間における一般化関数を用いて、誤差項付きモデルにおける非パラメトリックおよびセミパラメトリック同定化を再検討する。先行研究よりも弱い仮定の下で同定化を確立し、誤った分解定理に依存することを回避し、$L_1$空間における一貫性を持つ非パラメトリックプラグイン推定量を構築するとともに、測定誤差のモーメント母関数が存在しない場合でもセミパラメトリック同定化を示す。

ABSTRACT

Identification in errors-in-variables regression models was recently extended to wide models classes by S. Schennach (Econometrica, 2007) (S) via use of generalized functions. In this paper the problems of non- and semi- parametric identification in such models are re-examined. Nonparametric identification holds under weaker assumptions than in (S); the proof here does not rely on decomposition of generalized functions into ordinary and singular parts, which may not hold. A consistent nonparametric plug-in estimator for regression functions in the space of absolutely integrable functions constructed. Semiparametric identification via a finite set of moments is shown to hold for classes of functions that are explicitly characterized; unlike (S) existence of a moment generating function for the measurement error is not required.

研究の動機と目的

• 温度分布空間を用いて、誤差項付きモデルにおける非パラメトリック同定化を再表現・強化すること。
• 一般化関数の分解に基づく先行の同定証明における欠陥を是正すること、特に通常部分と特異部分への一意的分解という誤った仮定を避けること。
• 同定写像の連続性が成り立つ条件を確立し、一貫性のある推定を可能とすること。
• $L_1$空間における回帰関数のための一貫性を持つ非パラメトリックプラグイン推定量を構築すること。
• 測定誤差のモーメント母関数が存在しない場合でも、有限モーメントを用いたセミパラメトリック同定化を示すこと。

提案手法

• 温度分布空間 $\mathcal{S}'$ を用いて、フーリエ変換を一般化し、有界でないか特異的な回帰関数を取り扱う。
• $\mathcal{S}'$ における畳み込み定理を適用し、$W_y$, $W_{xy}$, $g$, および特性関数 $\phi$ のフーリエ変換を含む方程式系にモデルを変換する。
• $\varepsilon_y(\zeta) = \gamma(\zeta)\phi(\zeta)$ および $i\varepsilon_{xy}(\zeta) = \dot{\gamma}(\zeta)\phi(\zeta)$ を $\mathcal{S}'$ で解くことにより同定化を確立する。
• 一般化関数を通常部分と特異部分に分解するという、一般には成立しない手法に依存しない。
• シュナハ (2007) の欠陥を是正するため、ゼロにおける導関数が消えるのを避ける修正された重み関数の構築を用いる。
• $g$, $W_y$, $W_{xy}$ に対する可積分性条件の下で同定写像の連続性を確立し、摂動に対して安定な推定を可能とする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 誤差項付きモデルにおける非パラメトリック同定化は、シュナハ (2007) よりも弱い仮定の下で確立可能か？
• RQ2 一般化関数を通常部分と特異部分に分解することは、この文脈における同定化に有効かつ必要か？
• RQ3 点でのフーリエ変換の定義に依存しない $L_1$ 空間における一貫性を持つ非パラメトリックプラグイン推定量を構築可能か？
• RQ4 測定誤差のモーメント母関数が存在しない場合でも、セミパラメトリック同定化は成立するか？
• RQ5 提案された同定戦略に適した一般化関数空間における積演算は有効か？

主な発見

• 非パラメトリック同定化は、シュナハ (2007) よりも弱い仮定の下で成立し、特に $\int (1+t^2)^{-l} |b(t)| dt < \infty$ を満たすある $l \geq 0$ に対して成立する。
• 一般化関数を通常部分と特異部分に分解するという、$\mathcal{S}'$ で一般には成立しない手法に依存しない。
• 同定写像の連続性を保証する条件を提示し、摂動に対して推定量の安定性を確保する。
• $L_1$空間における回帰関数 $g$ の一貫性を持つ非パラメトリックプラグイン推定量を構築した。
• 測定誤差のモーメント母関数が存在しない場合でも、明示的に特定された関数クラスに対して有限モーメントを用いたセミパラメトリック同定化を確立した。
• シュナハ (2007) が提案した重み関数はゼロで消失することが示され、同定化に不適切であると判明し、修正された構築法が提供された。