[論文レビュー] Escape dynamics in a Hamiltonian system with four exit channels

Euaggelos E. Zotos|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2015

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 51被引用数 5

ひとこと要約

本研究では、4つの出口チャネルを有する2次元ハミルトニアン系における脱出ダイナミクスを、数値シミュレーションとSALI法を用いて、軌道を捕獲済み、混合、脱出に分類して調査した。主な発見として、低エネルギーでは脱出盆地が顕著にフラクタル的であり、境界領域や安定性島付近の初期条件において脱出時間と強く相関しているのに対し、高エネルギーでは脱出速度が向上しフラクタル性が低下し、Wadaに類似た盆地境界が現れ、脱出選択の予測不可能性が増すことが明らかになった。

ABSTRACT

We reveal the escape mechanism of orbits in a Hamiltonian system with four exit channels composed of two-dimensional perturbed harmonic oscillators. We distinguish between trapped chaotic, non-escaping regular and escaping orbits by conducting a thorough and systematic numerical investigation in both the configuration and the phase space. We locate the different basins of escape and we relate them withe the corresponding escape times of orbits. The SALI method is used for determining the ordered or chaotic nature of the orbits. It was observed that trapped and non-escaping orbits coexist with several escape basins. When the energy is very close to the escape energy the escape rate of orbits is huge, while as the value of the energy increases the orbits escape more quickly to infinity. Furthermore, initial conditions of orbits located near the boundaries of the basins of escape and also in the vicinity of the fractal domains were found to posses the largest escape rates. The degree of the fractality of the phase space was calculated as a function of the value of the energy. Our results were compared with earlier related work.

研究の動機と目的

• 4つの出口チャネルを有するハミルトニアン系において、捕獲済み、脱出しない周期的、脱出する軌道を区別すること。
• 配置空間および位相空間における脱出盆地をマッピングし、脱出時間と関連付けること。
• エネルギーを増加させることによる位相空間内でのフラクタル性の度合いの変化を調査すること。
• 初期条件に対する脱出チャネルの感受性、特に盆地境界や安定性島付近の挙動を検討すること。
• 脱出盆地構造にWada性質が存在するかを検証すること。

提案手法

• 1:1共鳴系に対応するポテンシャル $ V(x,y) = \frac{1}{2}(x^2 + y^2) - x^2y^2 $ を有する摂動された調和振動子の運動方程式を数値積分する。
• 最小リャプノフ特徴的指数（SALI）法を用いて、軌道を秩序的か混合的かに分類する。
• 配置空間および位相空間における初期条件を体系的にサンプリングし、脱出盆地をマッピングする。
• 各軌道の軌道を追跡し、脱出閾値を越えた時点で脱出時間を計算する。
• ボックスカウント次元を用いたフラクタル構造の分析により、エネルギー関数としてのフラクタル性の度合いを定量的に評価する。
• 境界領域にWada性質の有無を検出するため、盆地境界の調査を行う。Wada性質とは、任意の境界点が同時に3つ以上の盆地に属することを意味する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4つの出口チャネルに対する脱出盆地は、配置空間および位相空間にどのように分布し、エネルギーに応じてどのように変化するか？
• RQ2 初期条件の位置、特に盆地境界や安定性島付近における脱出時間との関係は何か？
• RQ3 エネルギーの増加に伴い、位相空間内のフラクタル性の度合いはどのように変化するか？
• RQ4 脱出プロセスは初期条件に対してどの程度感受性を示すか？感受性が強い領域はどこにあるか？
• RQ5 本系はWada性質を示すか？その場合、脱出チャネル選択の予測可能性にどのような影響を与えるか？

主な発見

• 低エネルギー領域では位相空間に顕著なフラクタル化が見られ、ほとんどすべての軌道が入り組んだ盆地により、4つのチャネルのいずれかにランダムに脱出する。
• エネルギーが上昇するにつれ、脱出盆地のフラクタル性が低下し、位相空間面積の最大90％を占めるようになり、より予測可能な脱出パターンが現れる。
• 脱出エネルギー閾値付近の軌道は長時間の脱出を示すが、高エネルギーでは出口チャネルが広がるため、著しく速い脱出が観察される。
• 盆地境界付近や安定性島周辺の初期条件では脱出時間が最も長く、盆地内部やフラクタル領域から離れた場所の初期条件では脱出時間が最も短い。
• 外側のKAM島付近の混合軌道は、何十万余りの時間単位にわたり捕獲されたまま、最終的に脱出する。
• 本系はWada性質を示しており、脱出盆地の任意の境界点が同時に少なくとも2つの他の盆地に属するため、脱出チャネル選択の予測不可能性が増大する。